Задание 19: Среднее арифметическое — ЕГЭ по математике

На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа $\;9,3$ , $\;10,5\;$ и $\;12,7\;$ округляются до $9$ , $11$ и $13$ соответственно.

а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?

б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 27?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?

Источник: А. Ларин, Тренировочный вариант №457

Решение:

а) Рейтинг футболиста был равен 41, тогда за него проголосовало 7 человек, так как $\dfrac{6}{17} \approx 0,353,\; \dfrac{7}{17} \approx 0,412,\; \dfrac{8}{17} \approx 0,471$ . После того, как Вася проголосовал за другого, то доля голосов за первого футболиста стала равна $\dfrac{7}{18} \approx 0,388$ . Значит, его рейтинг стал равен 39.

б) Пусть за каждого из 133 футболистов проголосовали всего 1 раз, за оставшегося футболиста — 67 раз. Тогда всего голосов 200, рейтинг у каждого из 133 будет равен $\dfrac{1}{200}=0,005$ , после округления рейтинг станет равен единице, а у оставшегося $\dfrac{67}{200}=0,335$ , после округления рейтинг его будет равен 34. Сумма всех рейтингов равна $133 + 34=167$

Если Вася проголосует за последнего футболиста, то его рейтинг останется прежним, но у остальных после округления он станет равен 0. Тогда сумма рейтингов станет равна $34$ , а значит, сумма изменилась на $133 > 27$ .

в) Начиная с 0,5% округление происходит в большую сторону. Если все 134 игрока имеют в дробной части рейтинга 0,5%, то при округлении получим дополнительных 134 единиц рейтинга, значит, сумма рейтингов всех футболистов может отличаться от 100 не более чем на $0,5 \cdot134=67$ . Тогда сумма всех рейтингов не превосходит $100+67=167$ . Пример, приведенный в пункте б) подходит нам. Значит, 167 — максимальное значение суммы рейтингов всех футболистов

Ответ: а) 39; б) Да; в) 167.