Тип 14 № 13335

a)

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle B_{1}C_{1}M$ и $\triangle ACM$. Их катеты $CM$ и $C_{1}M$ равны, так как $M$ — середина $CC_{1}$ по условию. Также равны катеты $B_{1}C_{1}$ и $AC$, поскольку призма правильная, то есть оба треугольника в основании правильные с равными сторонами.

Тогда $\triangle B_{1}C_{1}M = \triangle ACM$ по двум катетам. Тогда равны их гипотенузы $AM = B_{1}M$. То есть треугольник $B_{1}MA$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Пусть $BB_{1} = 2h$. Тогда

• по теореме Пифагора $$AB_{1} = \sqrt{AB^{2} + BB_{1}^{2}} = \sqrt{4 + 4h^{2}} = 2\sqrt{1 + h^{2}},$$
• $$AM = \sqrt{AC^{2} + CM^{2}} = \sqrt{4 + h^{2}}.$$

Поскольку треугольник $\triangle B_{1}MA$ — равнобедренный с основанием $AB_{1}$, то его высота $MH$ делит сторону $AB_{1}$ пополам. То есть $$AH = \frac{AB_{1}}{2} = \sqrt{1 + h^{2}}.$$

Вновь воспользуемся теоремой Пифагора:

$$MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = \sqrt{4 + h^{2} - (1 + h^{2})} = \sqrt{3}.$$

Теперь запишем площадь $S$ сечения:

$$S = \frac{MH \cdot AB_{1}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{1 + h^{2}}}{2} = \sqrt{3 + 3h^{2}}.$$

По условию имеем: $$\sqrt{3 + 3h^{2}} = 6,$$ $$3 + 3h^{2} = 36,$$ $$3h^{2} = 33,$$ $$h^{2} = 11,\qquad h = \sqrt{11}.$$

Высота призмы равняется $2h$, то есть $2\sqrt{11}$.

$$\boxed{2\sqrt{11}}$$