Тип 14 № 13342

а)

Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны и все грани являются равными правильными треугольниками. Так как $AN$ и $BN$ — медианы в равных правильных треугольниках $ADC$ и $DBC$, то $AN = BN$. Тогда $\triangle ANB$ равнобедренный, следовательно, медиана $NM$, проведенная к основанию, также является и высотой. Таким образом, $NM \perp AB$. Аналогично $\triangle DMC$ равнобедренный и $MN$ — медиана и высота этого треугольника, то есть $MN \perp CD$.

б) Если $MN \perp \alpha$, то $\alpha$ проходит через прямые, параллельные $AB$ и $CD$, то есть $AB \parallel \alpha$, $CD \parallel \alpha$. Тогда $\alpha$ пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой $PK \parallel AB$, а плоскости $(ACD)$ и $(BCD)$ — по прямым $PG$ и $KH$ соответственно, параллельным $CD$. Тогда $PKHG$ — сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$.

Далее имеем $CD \perp AN$ и $CD \perp BN$, так как $AN$ и $BN$ — медианы в равносторонних треугольниках. Тогда $CD \perp (ANB)$, следовательно, $CD \perp AB$. Значит, $PKHG$ — прямоугольник.

Треугольники $BKH$ и $BCD$ подобны, так как $KH \parallel CD$. Отсюда: $$\frac{BK}{BC} = \frac{KH}{CD} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{4} = \frac{KH}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad KH = 1.$$

Треугольники $CPK$ и $CAB$ подобны, так как $PK \parallel AB$. Поэтому: $$\frac{PK}{AB} = \frac{CK}{CB} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{PK}{4} = \frac{3}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad PK = 3.$$

Следовательно, площадь сечения $PKHG$ равна $$S_{PKHG} = KH \cdot PK = 1 \cdot 3 = 3.$$

$$\boxed{3}$$