Тип 14 № 13344

а)

Рассмотрим треугольники $SAB$ и $SAD$. В них имеем:

$$SB^{2} = 625 = 576 + 49 = AB^{2} + SA^{2},$$

$$SD^{2} = 81 = 32 + 49 = BC^{2} + SA^{2} = AD^{2} + SA^{2}.$$

Таким образом, по обратной теореме Пифагора треугольники $SAB$ и $SAD$ прямоугольные. Следовательно, $$SA \perp AB \quad \text{и} \quad SA \perp AD,$$ значит, $$SA \perp (ABD).$$

б) Проведём высоту $AH$ в треугольнике $SAB$.

Заметим, что $BC \perp SA$, так как $SA \perp (ABD)$, и $BC \perp AB$, так как $ABCD$ — прямоугольник. Тогда $$BC \perp (SAB).$$ Значит, $BC \perp AH$. Также $AH \perp SB$ по построению. Тогда $$AH \perp (SBC).$$ Таким образом, $AH$ — расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC)$.

В прямоугольном треугольнике $SAB$: $$AH = \frac{SA \cdot AB}{SB} = \frac{7 \cdot 24}{25} = 6{,}72.$$

$$\boxed{6{,}72}$$