Тип 14 № 13345

а)

Рассмотрим треугольники $SAB$ и $SAD$. В них имеем: $$SB^{2} = 12 = 5 + 7 = AB^{2} + SA^{2},$$ $$SD^{2} = 11 = 4 + 7 = BC^{2} + SA^{2} = AD^{2} + SA^{2}.$$

Таким образом, по обратной теореме Пифагора треугольники $SAB$ и $SAD$ прямоугольные. Следовательно, $$SA \perp AB \quad \text{и} \quad SA \perp AD,$$ значит $$SA \perp (ABD).$$

б) Проведём высоту $AH$ в треугольнике $SAB$.

Заметим, что $BC \perp SA$, так как $SA \perp (ABD)$, и $BC \perp AB$, так как $ABCD$ — прямоугольник. Тогда $$BC \perp (SAB).$$ Значит, $BC \perp AH$. Также $AH \perp SB$ по построению. Тогда $$AH \perp (SBC).$$ Таким образом, $AH$ — расстояние от $A$ до плоскости $(SBC)$.

В прямоугольном треугольнике $SAB$: $$AH = \frac{SA \cdot AB}{SB} = \frac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{105}}{6}.$$

$$\boxed{\frac{\sqrt{105}}{6}}$$