Тип 14 № 13346

а)

Пусть точка $M$ — середина $BC$. Тогда рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$. Все их стороны по условию равны $7$. Значит, они равносторонние. Тогда $AM$ и $DM$ — их медианы, которые также являются их высотами. Следовательно, $$BC \perp AM \quad \text{и} \quad BC \perp DM.$$ Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(AMD)$, которая содержит прямые $AM$ и $DM$, перпендикулярные $BC$. Прямая $AD$ лежит в плоскости $(AMD)$, которая перпендикулярна прямой $BC$, значит, $$BC \perp AD.$$

б) Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. Его сторона равна $7$, $AM$ — его медиана и высота, следовательно, $$AM = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}.$$

Аналогично в равностороннем треугольнике $DBC$ со стороной $7$ медиана $DM$: $$DM = \frac{7\sqrt{3}}{2} = AM.$$

Пусть точка $N$ — середина $AD$. Тогда рассмотрим треугольник $AMD$. В нём $AM = DM$, значит, $MN$ — его медиана и высота. Тогда $$MN \perp AD.$$

С другой стороны, $MN \perp BC$, так как $MN$ лежит в плоскости $(AMD) \perp BC$. Следовательно, $MN$ — расстояние между $AD$ и $BC$.

Так как $N$ — середина $AD$, то $AN = \frac12 AD = 2$. Тогда по теореме Пифагора для треугольника $AMN$: $$AN^{2} + MN^{2} = AM^{2},$$ $$MN^{2} = AM^{2} - AN^{2},$$ $$MN^{2} = \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - 2^{2},$$ $$MN^{2} = \frac{49 \cdot 3}{4} - 4,$$ $$MN^{2} = \frac{147 - 16}{4},$$ $$MN^{2} = \frac{131}{4},$$ $$MN = \frac{\sqrt{131}}{2}.$$

$$\boxed{\frac{\sqrt{131}}{2}}$$