Тип 14 № 13374

а)

Пусть точки $L$, $N$ — середины рёбер $AC$ и $BD$ соответственно. Тогда $$ML \text{ — средняя линия треугольника } ACD,$$ следовательно, $$ML \parallel AD.$$ Аналогично, $$NK \parallel AB,$$ следовательно, $$NK \parallel ML.$$

Значит, точки $N, K, M, L$ лежат в одной плоскости, которая параллельна прямой $AD$, следовательно, это и есть плоскость $\alpha$.

Так как тетраэдр правильный, его грани — это равные правильные треугольники. Тогда их средние линии попарно равны, в частности: $$NM = ML = KL = NK,$$ значит, $$KLMN — \text{ромб.}$$

Рассмотрим треугольники $BLD$ и $CKD$. В них $$BD = CD, \qquad BL = DL = CK = DK,$$ так как тетраэдр $ABCD$ правильный. Тогда $$\triangle BLD = \triangle CKD$$ по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит, равны и их медианы, то есть: $$LN = KM.$$

Следовательно, ромб $KLMN$ является квадратом.

—

б) Площадь квадрата $KLMN$ равна: $$S_{KLMN} = KL^2 = \left(\frac{BC}{2}\right)^2.$$

Так как в правильном тетраэдре $BC = AB = 2\sqrt{3}$, то $$KL = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3},$$ и $$S_{KLMN} = (\sqrt{3})^2 = 3.$$

$$\boxed{3}$$