Тип 14 № 13849

а)

Прямая $AK \perp CP$, так как $AK$ принадлежит плоскости $\alpha$, перпендикулярной $PC$. Пусть $AK$ пересекает $PH$ в точке $G$, тогда нужно доказать: $$PG : GH = 2 : 1.$$

Рассмотрим треугольник $PAC$. Его сторона: $$AC = 12\sqrt{2}$$ как диагональ квадрата со стороной $12$. Отсюда: $$PC = PA = 12\sqrt{2} = AC.$$

Следовательно, треугольник $PAC$ равносторонний. Поскольку $AK$ и $PH$ являются высотами и медианами, то медиана $AK$ делит медиану $PH$ в отношении $2:1$, считая от точки $P$.

б)

Отрезок $CH$ является проекцией отрезка $CP$ на плоскость основания. Пусть $L$ — проекция середины $K$ отрезка $CP$ на основание. Тогда $L$ — середина $CH$, и $$KL \perp (ABCD), \qquad KL \parallel PH.$$

Значит, прямая $PH$ параллельна плоскости $(KBL)$. Поэтому расстояние между прямыми $PH$ и $BK$ равно расстоянию между прямой $PH$ и плоскостью $(KBL)$.

Рассмотрим высоту $h$ из точки $H$ в треугольнике $LBH$. Имеем: $$h \perp PH, \qquad h \perp LK \quad (LK \parallel PH), \qquad h \perp LB.$$ Таким образом, $h$ является расстоянием между прямой $PH$ и плоскостью $(KBL)$.

Далее: $$LH = \frac14 AC = 3\sqrt{2}.$$

По теореме Пифагора: $$BL = \sqrt{HL^{2} + HB^{2}} = \sqrt{18 + 72} = 3\sqrt{10}.$$

Тогда: $$h = \frac{HL \cdot HB}{LB} = \frac{36}{3\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{6\sqrt{10}}{5}.$$

$$\boxed{\frac{6\sqrt{10}}{5}}$$