В правильной четырёхугольной пирамиде с вершиной боковое ребро , а высота пирамиды равна . Точки и — середины рёбер и соответственно. В пирамиде точка является вершиной, а — высотой пирамиды.
а) Доказать, что точка является серединой .
б) Найти расстояние между прямыми и .
Источник: БАНК ЕГЭ
Решение:
а)
-
— высота пирамиды , значит и в частности .
-
Пирамида правильная, в её основании лежит квадрат. Тогда — прямоугольник, где и .
-
Центр основания пирамиды точка делит отрезок пополам.
-
Поскольку пирамида правильная, боковые рёбра равны, и треугольник равнобедренный, где — высота и медиана одновременно.
-
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный и по теореме Пифагора:
-
Треугольник прямоугольный, в нём по теореме Пифагора: откуда
Поскольку , получаем и
-
Подставим известные значения. Боковое ребро , высота пирамиды . Тогда
-
В таком случае Следовательно, треугольник равнобедренный, где является одновременно высотой и медианой. Отсюда — середина . Что и требовалось доказать.
б) Расстояние между двумя прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
-
Так как , то перпендикулярна любой прямой в плоскости , в частности прямой . Это означает, что общий перпендикуляр к прямым и можно построить из точки на прямую . Обозначим точку на такую, что . Тогда — искомый общий перпендикуляр.
-
Найдём с помощью подобия треугольников. Рассмотрим треугольники и . Угол равен углу и угол равен углу , значит треугольники подобны:
-
В равнобедренном треугольнике имеем , и — высота и медиана одновременно.
-
Из подобия треугольников получаем соотношения соответствующих сторон: Отсюда
Значит расстояние между прямыми и равно .