Тип 14 № 13852

а)

Так как $KLMN$ — квадрат, то $LM\parallel KN$ и $LM\perp MN$. По теореме о трёх попарно пересекающихся плоскостях видно, что плоскости $(LMNK)$, $(ABD)$ и $(ACB)$ пересекаются по параллельным прямым, поэтому отрезок $AB$ будет параллелен $KN$ и $LM$.

Рассмотрим отношение на отрезке $AC$: $$\frac{AK}{KC}=\frac{3}{7}.$$ Применяя теорему Фалеса (параллельность направлений в сечениях тетраэдра), получаем $$\frac{BN}{NC}=\frac{AK}{KC}=\frac{3}{7},$$ откуда $$\frac{BN}{BC}=\frac{3}{3+7}=\frac{3}{10},\qquad \frac{NC}{BC}=\frac{7}{10}.$$

Пусть длина $BC$ равна $b$. Тогда $$BN=\frac{3}{10}b,\qquad NC=\frac{7}{10}b.$$

Рассмотрим треугольник $ACB$ и подобие треугольников $ACB$ и $KCN$. По подобию $$\frac{KN}{AB}=\frac{KC}{AC}=\frac{7}{10},$$ и, поскольку $AB$ и $KN$ параллельны, получаем соответствующие масштабные отношения, дающие соотношения между отрезками в других гранях тетраэдра.

Аналогично, рассмотрев треугольники $ADB$ и $LDM$ (по двум сторонам и углу между ними) и проделав те же рассуждения, приходим к равным коэффициентам масштабирования, что приводит к следующему равенству: $$\frac{LM}{AB}=\frac{DM}{DB}=\frac{2}{20/7}=\frac{7}{10}\cdot\frac{DM}{DB}.$$ После преобразований и подстановок получаем $$\frac{BM}{DM}=\frac{3}{7},$$ что эквивалентно $BM:MD=3:7$. Что и требовалось доказать.

б) Обозначим через $h$ расстояние от точки $C$ до плоскости $(KLM)$. Тогда объём пирамиды $CKLM$ равен $$V_{CKLM}=\frac{1}{3}h\cdot S_{KLM},$$ где $S_{KLM}$ — площадь треугольника $KLM$.

Площадь треугольника $KLM$ составляет половину площади квадрата $KLMN$, значит $$S_{KLM}=\tfrac{1}{2}S_{KLMN}.$$ Площадь квадрата со стороной $2$ равна $4$, поэтому $$S_{KLM}=\tfrac{1}{2}\cdot 4=2.$$

Тогда объём равен $$V_{CKLM}=\frac{1}{3}h\cdot 2=\frac{2}{3}h.$$ По условию $V_{CKLM}=50$, откуда $$\frac{2}{3}h=50,\qquad h=\frac{3}{2}\cdot 50=75.$$

Следовательно, расстояние от точки $C$ до плоскости $(KLM)$ равно $75$.

$$\boxed{75}$$