Тип 14 № 13855

а)

Проведём высоту $SH$ в треугольнике $SBC$. Так как $SB=SC$, то $BH=HC$. В треугольнике $ABC$ отрезок $AH$ является высотой, так как $AB=AC$ (треугольник равнобедренный), и при этом $BH=HC$ означает, что $AH$ одновременно медиана и высота.

Получаем систему: $$AH\perp BC, \qquad SH\perp BC.$$ Из этого следует $SA\perp BC$. Таким образом, $SA$ перпендикулярна прямой $BC$.

б) Найдём угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$. Этот угол равен углу между $SA$ и проекцией $SA$ на плоскость $SBC$. Опустим в треугольнике $ASH$ высоту $AK$ на $SH$. Тогда $$AK\perp SH,\qquad AK\perp BC,$$ и угол $\angle ASK$ является искомым.

Сначала вычислим длину $SH$. В треугольнике $SBC$ по теореме Пифагора: $$SH^2 = SB^2 - BH^2.$$ Так как $BH=\tfrac12 BC$, имеем $$BH=\tfrac12\cdot 2\sqrt{5}=\sqrt{5}.$$ Следовательно $$SH^2 = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{5})^2 = 13-5=8, \qquad SH=2\sqrt{2}.$$

Теперь найдём $AH$. В треугольнике $ABC$ также $BH=\sqrt{5}$, поэтому $$AH^2 = AB^2 - BH^2 = (\sqrt{29})^2 - (\sqrt{5})^2 = 29-5=24, \qquad AH=2\sqrt{6}.$$

В треугольнике $ASH$ известны все стороны: $AS=2\sqrt{5}$, $SH=2\sqrt{2}$, $AH=2\sqrt{6}$. По теореме косинусов для угла $\angle ASH$ получаем: $$AH^2 = AS^2 + SH^2 - 2\cdot AS\cdot SH\cdot\cos\angle ASH.$$ Подставляем числа: $$(2\sqrt{6})^2 = (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{2}\cdot\cos\angle ASH.$$ Это даёт $$24 = 20 + 8 - 8\sqrt{10}\cos\angle ASH,$$ откуда $$24 = 28 - 8\sqrt{10}\cos\angle ASH, \quad 8\sqrt{10}\cos\angle ASH = 4,$$ и, наконец, $$\cos\angle ASH = \frac{4}{8\sqrt{10}} = \frac{1}{2\sqrt{10}}.$$

Поскольку угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$ равен $\angle ASH$, ответ: $$\boxed{\arccos\frac{1}{2\sqrt{10}}}.$$