Тип 14 № 13857

а)

Рассмотрим треугольник $BB_1D_1$. По условию $K$ — середина ребра $BB_1$. Через точку $K$ проведём среднюю линию $KL$, параллельную стороне $BD_1$. Тогда точка $L$ лежит в плоскости $\alpha$, так как эта плоскость параллельна прямой $BD_1$.

Диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ квадрата $A_1B_1C_1D_1$ точкой пересечения делятся пополам, при этом $L$ — середина $B_1D_1$. Значит, $A_1C_1$ и $B_1D_1$ пересекаются в точке $L$.

Прямая $A_1C_1$ проходит через точки $C_1$ и $L$, лежащие в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости $\alpha$, значит, $\triangle A_1KC_1$ — искомое сечение.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $A_1B_1K$ и $C_1B_1K$. У этих треугольников катеты $A_1B_1$ и $C_1B_1$ равны как стороны квадрата $A_1B_1C_1D_1$, а катет $B_1K$ — общий. Значит, $$\triangle A_1B_1K = \triangle C_1B_1K$$ по двум катетам. Поэтому соответствующие элементы равны: $$A_1K = C_1K.$$ Следовательно, треугольник $A_1KC_1$ равнобедренный.

б) По теореме Пифагора в треугольнике $A_1B_1C_1$: $$A_1C_1^2 = A_1B_1^2 + C_1B_1^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 36.$$ Значит, $$A_1C_1 = 6.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $A_1B_1K$: $$A_1K^2 = A_1B_1^2 + B_1K^2 = (3\sqrt{2})^2 + \left(\frac{2\sqrt{7}}{2}\right)^2 = 18 + 7 = 25.$$ Значит, $$A_1K = 5.$$

Тогда периметр треугольника $A_1KC_1$: $$P_{A_1KC_1} = A_1C_1 + A_1K + C_1K = A_1C_1 + 2A_1K = 6 + 2\cdot 5 = 16.$$

Ответ: 16.