Задание 14: Расстояние между скрещивающимися прямыми — ЕГЭ по математике

В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$ . На прямой $AA_1$ отмечена точка $G$ так, что $A_1$ — середина $AG$ . На прямой $B_1C_1$ отмечена точка $I$ так, что $C_1$ — середина $B_1I$ .

а) Докажите, что прямые $A_1B_1$ и $GI$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $GI$ , если $AB = 4$ , а $AA_1 = 1$ .

Источник: БАНКЕГЭ

Решение:

а)

Прямая $AG$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1$ , поэтому проекцией прямой $GI$ на эту плоскость является прямая $A_1I$ . Заметим, что в треугольнике $A_1IB_1$ медиана $A_1C_1$ равна половине стороны $B_1I$ , поэтому треугольник $A_1IB_1$ прямоугольный с прямым углом в $A_1$ .

Тогда: $\begin{cases} GA_1 \text{ — перпендикуляр},\\ GI \text{ — наклонная},\\ IA_1 \text{ — проекция} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \text{по ТТП } GI \perp A_1B_1.$

б) $A_1B_1$ перпендикулярно $A_1I$ , $A_1B_1$ перпендикулярно $A_1G$ , следовательно $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости $A_1GI$ . Так как $AB \parallel A_1B_1$ , то и $AB$ перпендикулярно $A_1GI$ .

Значит, $AH$ — общий перпендикуляр ( $AH$ перпендикулярно $GI$ по построению, а $AH$ перпендикулярно $AB$ , т.к. $AH$ лежит в плоскости $A_1GI$ ).

Рассмотрим треугольник $AGI$ : его площадь равна: $0{,}5 \cdot AH \cdot GI = 0{,}5 \cdot AG \cdot A_1I.$

Выразим $AH$ : $AH = \frac{AG \cdot A_1I}{GI}.$

Из треугольника $B_1A_1I$ по теореме Пифагора: $A_1I = 4\sqrt{3}.$

Из треугольника $A_1GI$ по теореме Пифагора: $GI = 7.$

Тогда: $AH = \frac{8}{7}\sqrt{3}.$

Ответ: $\frac{8}{7}\sqrt{3}$ .