Задание 14: Расстояние между скрещивающимися прямыми — ЕГЭ по математике

В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$ . На прямой $AA_1$ выбрана точка $G$ так, что $A_1$ является серединой отрезка $AG$ . На прямой $B_1C_1$ отмечена точка $F$ таким образом, что $C_1$ — середина $B_1F$ .

а) Доказать, что прямые $A_1B_1$ и $GF$ взаимно перпендикулярны.

б) Найти расстояние между прямыми $AB$ и $GF$ , если $AB = 3$ и $AA_1 = 1$ .

Источник:БАНКЕГЭ

Решение:

а)

Поскольку призма правильная, треугольники $A_1B_1C_1$ и $ABC$ являются равносторонними, а прямые $AA_1$ , $BB_1$ и $CC_1$ перпендикулярны основанию. Отсюда следует, что $AG \perp A_1B_1C_1$ , то есть отрезок $AG$ является перпендикуляром к плоскости основания призмы.

Рассмотрим треугольник $A_1FB_1$ . Так как $C_1$ — середина $B_1F$ , а $A_1C_1$ — медиана, причём медиана равна половине стороны $B_1F$ , то треугольник $A_1FB_1$ оказывается прямоугольным с прямым углом при $A_1$ . То есть $\angle FA_1B_1 = 90^\circ$ .

Теперь отметим важную геометрическую взаимосвязь: $\begin{cases} GF \text{ — наклонная к плоскости } A_1B_1C_1,\\[2pt] FA_1 \text{ — её проекция},\\[2pt] GA_1 \text{ — перпендикуляр к плоскости},\\[2pt] \angle FA_1B_1 = 90^\circ \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad GF \perp A_1B_1 \quad \text{(по признаку перпендикулярности наклонной и прямой)}.$

Таким образом, прямые $A_1B_1$ и $GF$ действительно перпендикулярны, что и требовалось показать.

б) Требуется найти расстояние между прямыми $AB$ и $GF$ . Условие $AB = 3$ и $AA_1 = 1$ фиксирует размеры призмы.

Прямые $A_1B_1 \perp A_1F$ и $A_1B_1 \perp A_1G$ , следовательно $A_1B_1$ перпендикулярна всей плоскости $A_1GF$ . Так как $AB \parallel A_1B_1$ , то и $AB$ перпендикулярна той же плоскости: $AB \perp (A_1GF).$

Пусть теперь $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на прямую $GF$ . По построению $AH \perp GF$ , и при этом $AH \subset (A_1GF)$ , а значит, $AH$ — искомое расстояние между прямыми $AB$ и $GF$ .

Далее вычислим величины из планиметрических соображений.

В треугольнике $A_1B_1F$ (равнобедренном и прямоугольном в $A_1$ ) по теореме Пифагора: $A_1F = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt{3}.$

В треугольнике $A_1GF$ : $GF = \sqrt{27 + 1} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.$

Следовательно, $\cos\angle A_1GF = \frac{A_1F}{GF} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.$

В треугольнике $AGH$ : $\sin\angle AGH = \frac{AH}{AG}.$

При этом $AG = 2AA_1 = 2$ , следовательно: $AH = \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}.$

Ответ: $\displaystyle \frac{3\sqrt{21}}{7}$ .