Тип 14 № 13891

а)

Построим сечение плоскостью $\alpha$.

Так как $\alpha \parallel A B$, то $\alpha$ пересекает плоскости, содержащие $A B$, по прямым, параллельным $A B$.

Проведём $I M \parallel A B$ в плоскости $(A D B)$. Аналогично проведём $W K$ в плоскости $(A C B)$.

Тогда четырёхугольник $I M W K$ является искомым сечением плоскости $\alpha$.

По теореме Фалеса для $I M \parallel A B$ в треугольнике $\triangle A D C$: $$\frac{D I}{I B} = \frac{D M}{M B} = \frac{4}{1}.$$ Следовательно, плоскость $\alpha$ делит ребро $B D$ в отношении $1:4$ от точки $B$, что и требовалось доказать.

б) Найдём расстояние между прямыми $A B$ и $W M$.

Так как $W M \parallel A B$ по условию, а $W K \subset I M W K$, то расстояние $d(A B, I M W K)$ является искомым.

Проведём высоту $B C$ в $\triangle C B D$.

Тогда в $\triangle A D C$ отрезок $B C$ также будет высотой, так как $$\begin{cases} D C \perp B C,\\ A C \perp B C, \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad B C \perp (A D C) \Rightarrow B C \perp A B.$$

Проведём высоту $F C$ в треугольнике $A C F$, тогда: $$F C \perp A B,\qquad W M \parallel A B \Rightarrow F C \perp I M.$$

По обратной теореме Фалеса: $$\frac{B W}{W C}=\frac{B I}{I D}= \frac{1}{4} \Rightarrow W K \parallel C D.$$

Теперь: $$\begin{cases} F C \perp W M,\\ F C \perp W K. \end{cases} \quad\Rightarrow\quad F C \perp (I M W K).$$

Следовательно, расстояние между $A B$ и $W M$ равно: $$d(A B, W M)=U F,$$ где $U = F C \cap (I M W K)$.

Рассмотрим подобные треугольники: $$\triangle A F C \sim \triangle D F P \quad\Rightarrow\quad \frac{F C}{U C}=\frac{A P}{P F}.$$

Пусть $A F = x$, $F P = 4x$, тогда $A P = 5x$.

Получаем: $$\frac{F C}{U C} = \frac{5x}{4x} = \frac{5}{4} \quad\Rightarrow\quad U F = \frac{1}{5} F C.$$

Площадь треугольника $A C F$: $$S_{A C F} = \frac12 A C \cdot C F = \frac12 A P \cdot P D \cdot \sin \angle A P D.$$

Так как $A P = \frac{C B \sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}$, то: $$P D=\sqrt{A D^2 - A P^2} = \sqrt{9-\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}.$$

Высота из вершины $A$ в правильной пирамиде попадает в центр основания, поэтому: $$O P = \frac13 A P = \frac{5\sqrt3}{6}.$$

В прямоугольном треугольнике $O P D$: $$\cos\angle A P D = \frac{O P}{P D} = \frac{5\sqrt3/6}{\sqrt{11}/2} = \frac{5\sqrt3}{3\sqrt{11}}.$$

По ОТТ: $$\sin^2 \angle A P D = 1 - \frac{25\cdot 3}{9\cdot 11} = 1-\frac{25}{33} = \frac{2}{33} \quad\Rightarrow\quad \sin\angle A P D=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{33}}.$$

Тогда: $$F C = \frac{A P \cdot P D \cdot \sin\angle A P D}{A C} = \frac{5\sqrt3\cdot\sqrt{11}\cdot 2\sqrt2}{2\cdot 2\sqrt{33}} = \frac{\sqrt2}{\sqrt6}.$$

Следовательно: $$U F = \frac15 F C = \frac{\sqrt2}{6}.$$

Ответ: $\displaystyle \frac{\sqrt2}{6}$.