Тип 14 № 13893

а)

Так как пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, значит $AB = BC$, тогда $BK = 4$, $KC = 2$.

Рассмотрим треугольник $SAC$, $M$ – середина $SC$, $O$ – середина $AC$ (диагонали точки пересечения делятся пополам), тогда $MO$ – средняя линия треугольника $CSA$, значит $MO \parallel SA$, так как $MO$ лежит в плоскости $(OMK)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости $SA \parallel (OMK)$, что и требовалось доказать.

б)

Достроим сечение, продлим $KO$ до пересечения с $AD$ в точке $L$. $LT \parallel AS$, так как $AS \parallel (OMK)$, а $T \in SD$. Тогда нам необходимо найти $LT$.

Рассмотрим $\triangle OLA$ и $\triangle OKC$, $\angle LAO = \angle KCO$ – накрестлежащие. $\angle LOA = \angle KOC$ – вертикальные, $AO = OC$, значит, $\triangle OLA \cong \triangle OKC$ по двум углам и стороне между ними. Отсюда: $AL = KC = 2$, $LD = 4$.

Так как $ABCD$ – квадрат, то $AC = a\sqrt2 = 6\sqrt2$, $a = 6$ – сторона квадрата.

В прямоугольном треугольнике $SAO$, найдём $AS$ по теореме Пифагора: $$AO^2 + SO^2 = AS^2 \quad\Rightarrow\quad AS^2 = 18 + 63 = 81 \quad\Rightarrow\quad AS = 9.$$

Рассмотрим $\triangle DTL$ и $\triangle DSA$, $\angle DTL = \angle DSA$ – соответственные, значит $\triangle DTL \sim \triangle DSA$ по двум углам.

Тогда: $$k = \frac{DL}{DA} = \frac{TL}{SA},\qquad \frac{4}{6} = \frac{TL}{9} \quad\Rightarrow\quad TL = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6.$$

$$\boxed{6}$$