Тип 14 № 13894

a)

Так как $$AM:MB = AN:ND,$$ то по обратной теореме о пропорциональных отрезках $$MN \parallel BD.$$

Пусть плоскость сечения $\alpha$ пересекает ребро $CD$ в точке $K$.

Линии пересечения трёх попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке. Рассмотрим плоскости $(ABD)$, $(CBD)$ и $(LMN)$. Они пересекаются по прямым $MN$, $BD$ и $LK$. Так как $MN \parallel BD$, то линии пересечения этих плоскостей не могут пересекаться в одной точке, следовательно, они попарно параллельны: $$MN \parallel BD \parallel LK.$$

Тогда по теореме о пропорциональных отрезках получаем: $$\frac{CK}{KD} = \frac{CL}{LB} = 4:1.$$

б) Так как тетраэдр правильный, все его рёбра равны $10$. Так как $MN \parallel BD$, то $\triangle AMN \sim \triangle ABD$ по двум углам. Запишем коэффициент подобия: $$\frac{MN}{BD} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{5},$$ $$MN = \frac{1}{5}\cdot BD = \frac{10}{5} = 2.$$

Так как $LK \parallel BD$, то $\triangle CLK \sim \triangle CBD$. Тогда $$\frac{LK}{BD} = \frac{CK}{CD} = \frac{4}{5},$$ $$LK = \frac{4}{5}\cdot BD = \frac{4}{5}\cdot 10 = 8.$$

По условию $$AM = AN = BL = KD = 2,\qquad CL = CK = MB = ND = 8.$$

Так как грани правильного тетраэдра — равносторонние треугольники, углы $\angle MBL = \angle NDK = 60^\circ$. Следовательно, $$MB = ND = 8, \qquad BL = KD = 2,$$ а по двум сторонам и углу между ними $$ML = NK.$$

Сечение $MNKL$ — равнобедренная трапеция с основаниями $MN=2$ и $LK=8$.

Найдём боковую сторону трапеции. По теореме косинусов в $\triangle NKD$: $$NK^2 = ND^2 + KD^2 - 2\cdot ND\cdot KD\cdot \cos 60^\circ,$$ $$NK^2 = 64 + 4 - 2\cdot 8\cdot 2 \cdot \frac{1}{2},$$ $$NK^2 = 52 \quad\Rightarrow\quad NK = 2\sqrt{13}.$$

Так как трапеция равнобедренная, $$LR = TK = \frac{LK - MN}{2} = \frac{8-2}{2} = 3.$$

По теореме Пифагора в $\triangle MLR$: $$ML^2 = MR^2 + LR^2,$$ $$MR^2 = 52 - 9 = 43 \quad\Rightarrow\quad MR = \sqrt{43}.$$

Найдем площадь трапеции MNKL. Для этого проведем высоты MR и NT.

$$S_{MNKL} = \frac{MN + LK}{2}\cdot MR = \frac{2 + 8}{2}\cdot \sqrt{43} = 5\sqrt{43}.$$

$$\boxed{S = 5\sqrt{43}}$$