Тип 14 № 13895

a)

Так как $$AM:MB = AN:ND,$$ то по обратной теореме о пропорциональных отрезках $$MN \parallel BD.$$ Пусть плоскость сечения $\alpha$ пересекает $CD$ в точке $K$.

Линии пересечения трёх попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке. Тогда рассмотрим плоскости $(ABD)$, $(CBD)$ и $(LMN)$. Они пересекаются по прямым $MN$, $BD$ и $LK$. Так как $$MN \parallel BD,$$ то линии пересечения этих плоскостей не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, они попарно параллельны: $$MN \parallel BD \parallel LK.$$

Отсюда $LK \parallel BD$. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках: $$CK:KD = CL:LB = 2:1.$$

b) Так как тетраэдр правильный, то все его рёбра равны $6$.

Так как $MN \parallel BD$, то $\triangle AMN \sim \triangle ABD$ по двум углам. Запишем отношение подобия: $$\frac{MN}{BD} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3}.$$ Тогда $$MN = \frac13 BD = \frac63 = 2.$$

Так как $LK\parallel BD$, то $\triangle CLK \sim \triangle CBD$ по двум углам. Отношение подобия: $$\frac{LK}{BD}=\frac{CK}{CD}=\frac23.$$ Тогда $$LK = \frac23 BD = \frac{2\cdot 6}{3} = 4.$$

Так как $$AN:ND = AM:MB = DK:KC = BL:LC = 1:2,$$ получаем: $$AM = AN = BL = KD = 2,$$ $$CL = CK = MB = ND = 4.$$

Отметим, что все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Следовательно: $$\angle MBL = \angle NDK = 60^\circ.$$ Тогда $$\triangle MBL \cong \triangle NDK$$ по двум сторонам и углу между ними: $$MB = ND = 4,\quad BL = KD = 2.$$

Следовательно, $$ML = NK.$$ Так как $MN \parallel LK$, $MN \ne LK$, то сечение $MNKL$ — равнобедренная трапеция с основаниями $$MN = 2,\qquad LK = 4.$$

Найдём боковую сторону трапеции. По теореме косинусов для $\triangle NKD$: $$NK^2 = ND^2 + KD^2 - 2 \cdot ND \cdot KD \cdot \cos \angle NDK,$$ $$NK^2 = 16 + 4 - 2\cdot 4\cdot 2 \cdot \frac12,$$ $$NK^2 = 12 \quad\Rightarrow\quad NK = 2\sqrt 3.$$

Найдём площадь трапеции $MNKL$. Проведём высоты $MR$ и $NT$.

Так как трапеция равнобедренная: $$LR = TK = \frac{LK - MN}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1.$$

По теореме Пифагора в $\triangle MLR$: $$LM^2 = MR^2 + LR^2,$$ $$MR^2 = 12 - 1 = 11 \quad\Rightarrow\quad MR = \sqrt{11}.$$

Найдем площадь трапеции MNKL. Для этого проведем высоты MR и NT.

$$S_{MNKL} = \frac{MN + LK}{2}\cdot MR = \frac{2 + 4}{2} \cdot \sqrt{11} = 3\sqrt{11}.$$

$$\boxed{3\sqrt{11}}$$