Тип 19 № 14004

а) Да, может, $\dfrac{209}{2} + \dfrac{210}{2} + \dfrac{211}{2} + \dfrac{212}{2} = 421$.

б) Заметим, что числа в последовательности не могут быть трехзначными, если $S=9,2$, так как $S>4\cdot \dfrac{100}{10}=40$. Для оценки мы взяли минимальное трехзначное и следующее натуральное число после наибольшей цифры 9. Кроме того, все числа в последовательности не однозначные, так как тогда бы $S$ равнялось четырем. Если в последовательности есть число 10, тогда к сумме $S$ прибавилось бы $\dfrac{10}{1}=10$, что уже больше, чем 9,2. Чтобы получить наименьшее $S$ из двухзначных чисел, нам нужна наименьшая цифра в разряде десятков и наибольшая в разряде единиц, это достигается при такой последовательности: 16, 17, 18, 19. Тогда $$S = \dfrac{16}{6} + \dfrac{17}{7} + \dfrac{18}{8} + \dfrac{19}{9} = 9 \cdot \dfrac{115}{252} > 9,2$$ Значит, $S=9,2$ быть не может

в) Рассмотрим последовательность: 916, 917, 918, 919. Тогда $S=916+917+918+919=3670$. Докажем, что большее $S$ быть не может. В данный последовательности каждое из чисел больше 900, значит последовательности, числа в которых начинаются не с 9 нам не подойдут. Все числа в последовательности должны иметь цифру 1, так как иначе даже $$\dfrac{992}{2} < 900$$ То есть, сумма для $S$ значительно уменьшается, соответственно лучшая ситуация, та, при которой числа последовательности начинаются с 9, в разряде десятков имеют единицу, а в разряде единиц стоят максимально возможные цифры, что и достигается в последовательности: 916, 917, 918, 919

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 3670.