Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Источник: ЕГЭ 2013, вторая волна
Решение:
а) Рассмотрим число 810, частное числа и суммы его цифр: . Значит, да, может.
б) Пусть . Тогда Левая часть уравнения делится на 2, значит и правая часть должна делиться. делится на 2, должно делиться на 2, возможно при равном 0, 2, 4, 6, 8. При всех возможных нет такого , удовлетворяющего уравнению.
в) , тогда , — наибольшее натуральное значение. , значит: Значит Рассмотрим число 910, частное этого числа и суммы его цифр равно 91.
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 91.