Тип 19 № 14007

а) Рассмотрим число 117, частное числа и суммы его цифр: $\dfrac{117}{9}=13$. Значит, да, может.

б) Пусть $\overline{abc} = 100a + 10b + c$. Тогда $$100a+10b+c = 6a+6b+6c$$ $$94a+4b=5c$$ Так как $a$ как минимум 1, то левая часть уравнения не меньше 94. Заметим, что $c \le 9$, тогда правая часть максимум 45. Значит, уравнение не имеет решений.

в) $a=6$, тогда $$\dfrac{\overline{6bc}}{6+b+c}=x$$ $x$ — наибольшее натуральное значение.
Пусть $c=0$, тогда $$\dfrac{600+10b}{6+b}=x$$ $$x=\dfrac{10(6+b)+540}{6+b}=10+\dfrac{2^2\cdot3^3\cdot5}{6+b}$$ Так как $b \neq 0$ и $x$ — натуральное, тогда минимально возможное $b$ равно трем. Отсюда $$x=10+\dfrac{4\cdot 27 \cdot5}{9}=70$$ При $b>3$ получим, что $x<70$. Пусть $b=0$ $$x=\dfrac{600+c}{6+c}=1+\dfrac{2\cdot3^3\cdot11}{6+c}$$ Получаем, что $c=3$ и $x=67$. Пусть $b=1$ $$x=\dfrac{610+c}{7+c}=1+\dfrac{9\cdot67}{7+c}$$ Получаем, что $c=2$ и $x=68$. Если $c\ge 1$ и $b \ge 2$, то $$600 + 10b + c = 6x + bx + cx$$ $$600 = 6x+b(x-10)+c(x-1) \ge 6x +2(x-10) + (x-1) = 9x-21$$ Получим, что $x\le 69$. Значит, наибольшее $x$ будет равным 70, это выполняется для числа 630.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 70.