Тип 19 № 14008

а) Возьмем самое большое $A=999$, сумма цифр равна 27. Тогда $27\cdot 999 = 26973 < 28000$. Значит, такое невозможно.

б) $S \le 27$, максимальное $A$ это 999, сумма цифр 27. Число 2971 не кратно ни одному простому число до 27 включительно, значит и никакому число до 27, кроме 1. Тогда $S=1$, что также невозможно.

в) Начнём проверять перебором числа в порядке убывания, начиная с 5996.

$A \cdot S = 5996 = 4 \cdot 1499$ — невозможно.
$A \cdot S = 5995 = 5 \cdot 11 \cdot 109$. Получим, что $A$ кратно $109$, значит, $A = 109 \cdot 5 = 545$. Отсюда, $S = 14$, но $545 \cdot 14\neq5995$.
$A \cdot S = 5994 = 2 \cdot 3^4 \cdot 37$. Получим, что $A$ кратно $37$, значит, $A = 222$, $A = 333$, $A = 666$. Далее:

Если $A = 222$, то $S = 6$, не подходит.

Если $A = 333$, то $S = 9$, не подходит.

Если $A = 666$, то $S = 18$, не подходит.
$A \cdot S = 5993 = 13 \cdot 461$, значит, $A = 461$, тогда $S = 11$, невозможно.
$A \cdot S = 5992 = 14 \cdot 428$, значит, $A = 428$, тогда $S = 14$, подходит. Значит, $S = 14$ и $A = 428$. Их произведение $14 \cdot 428 = 5992$.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 5992.