Тип 19 № 14010

а) Пусть на доске написаны числа: 166, 6, 1. Тогда$$166+6+1=173$$ Значит, да, может.

б) Можем использовать только числа: 1, 6, 11, 16, 61, 66. Взять 61 и 66 одновременно не можем $$61+66=127>109$$ А если взять все остальные и 66, то получим $$1+6+11+16+66=100 < 109$$ Значит, 109 получить не можем.

в) Все числа до 1021, которые мы можем использовать, это: $$1,\ 6,\ 11,\ 16,\ 61,\ 66,\ 111,\ 116,\ 161,\ 166,\ 611,\ 616,\ 661,\ 666$$ Заметим, что каждое число дает остаток 1, при делении на 5. 1021 также дает остаток 1 при делении на 5, значит чисел на доске может быть одно, шесть или одиннадцать, других вариантов нет.
Одно число нам не подойдет. Можем построить пример для шести чисел: $$1+11+16+161+166+666=1021$$ Значит, наименьшее количество чисел на доске — 6.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 6.