Тип 19 № 14013

а) Да, например, $$210=21\cdot 10$$

б) Все числа из диапазона [440, 499] начинаются с 4, вычеркнув любую цифру, полученное число будет не меньше 40, но тогда $$40\cdot 40 = 1600 > 500$$ Значит, уравнение быть верным не может.

в) $$810=81\cdot 10$$ Покажем, почему не найдется числа больше. Все числа начинаются с 8, если их не вычеркнуть то получим $$80\cdot 80 > 900$$ Если ни в одном двузначном числе нет восьмерки, то $B=C$ и $A=B^2$. $$28^2=784, \quad 29^2 = 841,\quad 30^2=900$$ То есть, 841 единственное возможное число, однако, $41^2 \neq 841$. Тогда одно из чисел сохраняет в себе восьмерку, а второе состоит из последних двух цифр числа $A$. Рассмотрим следующее число — 811, тогда $$81\cdot 11 = 891 \neq 811$$ Значит, последние две цифры числа не меньше 12, а второе число не меньше 80 $$80\cdot12 =960 >900$$ Значит, наибольшее $A$ равно 810.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 810.