Тип 19 № 14014

а) Да, например, $$150=15\cdot 10$$

б) Если $A=600$, то условие не выполняется, тогда все числа из промежутка начинаются с 5, вычеркнув ее, полученное число будет не меньше 40, но тогда $$40\cdot 40 = 1600 > 600$$ Значит, уравнение быть верным не может.

в) $$910=91\cdot 10$$ Покажем, почему не найдется числа больше. Все числа начинаются с 9, если их не вычеркнуть, то получим $$90\cdot 90 > 999$$ Если ни в одном двузначном числе нет девятки, то $B=C$ и $A=B^2$. $$30^2=900, \quad 31^2 = 961,\quad 32^2=1024$$ То есть, 961 единственное возможное число, однако, $61^2 \neq 961$. Тогда одно из чисел сохраняет в себе девятку, а второе состоит из последних двух цифр числа $A$. Рассмотрим следующее число — 911, тогда $$91\cdot 11 = 1001 \neq 911$$ Значит, последние две цифры числа не меньше 12, а второе число не меньше 90 $$90\cdot12 =1080 >999$$ Значит, наибольшее $A$ равно 910.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 910.