Тип 19 № 15472

Пусть в большом кляссере $a$ ячеек, а в маленьком кляссере $b$ ячеек. Тогда $$150 < a < 160,\qquad 100 < b < 120.$$

Пусть в коллекции Ивана Ильича собрано $x$ монет. Тогда с одной стороны $$x = k\cdot a - 5,$$ а с другой $$x = (k+2)\cdot b - 5.$$

Таким образом, $$k\cdot a - 5 = (k+2)\cdot b - 5,$$ откуда $$ka - 5 = (k+2)b - 5,$$ $$ka = (k+2)b.$$

а) Пусть $k = 3$. Тогда $$3a = 5b.$$ Так как $3$ не делится на $5$, число $a$ должно делиться на $5$. Следовательно, из условия $150 < a < 160$ получаем $a = 155$, и тогда $$5b = 3a = 3\cdot155,$$ $$b = \frac{3\cdot155}{5} = 3\cdot31 = 93.$$ Но по условию $b > 100$, значит, мы получили противоречие и $k \ne 3$.

б) Оценим количество монет в коллекции Ивана Ильича с обеих сторон: через оценку $a$ и через оценку $b$.

По условию $x = ka - 5$. Так как $150 < a < 160$, то $$150k - 5 < ka - 5 < 160k - 5,$$ то есть $$150k - 5 < x < 160k - 5.$$

Также по условию $x = (k+2)b - 5$. Так как $100 < b < 120$, то $$100(k+2) - 5 < (k+2)b - 5 < 120(k+2) - 5,$$ следовательно, $$100k + 200 - 5 < x < 120k + 240 - 5.$$

Оценим $k$ снизу: $$100k + 200 - 5 < x < 160k - 5,$$ $$100k + 200 < 160k,$$ $$200 < 60k,$$ $$k > \frac{10}{3}.$$ Так как $k$ — натуральное число, получаем $k \ge 4$, и снова убеждаемся, что $k \ne 3$.

Рассмотрим два случая: $k = 4$ и $k \ge 5$.

Если $k \ge 5$, то так как $a > 150$, имеем $$x = ka - 5 \ge 5\cdot151 - 5 = 750.$$

Если $k = 4$, то из равенства $ka = (k+2)b$ получаем $$4a = 6b,$$ $$2a = 3b.$$ Так как $2$ не делится на $3$, число $a$ должно делиться на $3$. Следовательно, из условия $150 < a < 160$ получаем $$a = 153,\;156\ \text{или}\ 159.$$ Тогда $$x = ka - 5 \ge 4\cdot153 - 5 = 607.$$

Приведём пример для $x = 607$. Такое количество монет можно разложить в $4$ больших кляссера по $153$ ячейки, при этом останется $5$ свободных ячеек: $$607 = 4\cdot153 - 5.$$ Также это количество монет можно разложить в $6$ маленьких кляссеров по $102$ ячейки, при этом останется $5$ свободных ячеек: $$607 = 6\cdot102 - 5.$$

в) Оценим $k$ сверху: $$150k - 5 < x < 120k + 240 - 5,$$ $$150k < 120k + 240,$$ $$30k < 240,$$ $$k < 8.$$ Так как $k$ — натуральное число, получаем $k \le 7$.

Рассмотрим два случая: $k = 7$ и $k \le 6$.

Если $k \le 6$, то так как $a < 160$, имеем $$x = ka - 5 \le 6\cdot159 - 5 = 949.$$

Если $k = 7$, то из равенства $ka = (k+2)b$ получаем $$7a = 9b.$$ Так как $7$ не делится на $9$, число $a$ должно делиться на $9$. Следовательно, из условия $150 < a < 160$ получаем $a = 153$. Тогда $$x = ka - 5 = 7\cdot153 - 5 = 1066.$$

Приведём пример для $x = 1066$. Такое количество монет можно разложить в $7$ больших кляссеров по $153$ ячейки, при этом останется $5$ свободных ячеек: $$1066 = 7\cdot153 - 5.$$ Также это количество монет можно разложить в $9$ маленьких кляссеров по $119$ ячейки, при этом останется $5$ свободных ячеек: $$1066 = 9\cdot119 - 5.$$

Ответ: $$\text{а) Нет}\qquad \text{б) }607\qquad \text{в) }1066.$$