Тип 19 № 15630

a) Да, может. Например, если на доске написаны числа $2004$, $12$ и $9$. Действительно, $$2004 + 12 + 9 = 2025;$$ $$2\cdot(2+0+0+4) = 2\cdot 6 = 12;$$ $$3\cdot(1+2) = 3\cdot 3 = 9.$$

б) По признаку равноостаточности при делении на $3$ сумма цифр числа даёт такой же остаток при делении на $3$, как и само число.

Если первое число кратно $3$, то и его сумма цифр кратна $3$, то есть второе число тоже кратно $3$. Третье число кратно $3$ по условию. Значит, сумма всех трёх чисел кратна $3$.

Если первое число даёт остаток $1$ при делении на $3$, то и его сумма цифр даёт остаток $1$ при делении на $3$, следовательно, второе число даёт остаток $2$ при делении на $3$. Третье число кратно $3$ по условию. Значит, сумма всех трёх чисел кратна $3$.

Если первое число даёт остаток $2$ при делении на $3$, то и его сумма цифр даёт остаток $2$ при делении на $3$, следовательно, второе число даёт остаток $$2\cdot 2 - 3 = 1$$ при делении на $3$. Третье число кратно $3$ по условию. Значит, сумма всех трёх чисел кратна $3$.

С другой стороны, $2026$ на $3$ не делится, значит, сумма $2026$ невозможна.

в) $12$ — это утроенная сумма цифр второго числа. Тогда сумма цифр второго числа равна $4$.

Первое число четырёхзначное, его максимальная сумма цифр равна $9\cdot 4 = 36$, а максимальное значение второго числа равно $2\cdot 36 = 72$.

Тогда вторым числом с суммой цифр $4$ могут быть только числа $$40,\;31,\;22,\;13,\;4.$$ Подходят только чётные варианты, следовательно, сумма цифр первого числа может быть равна $20$, $11$ или $2$.

Выпишем все четырёхзначные числа с суммой цифр $2$: $$2000,\;1100,\;1010,\;1001.$$ Их всего $4$.

Посчитаем, сколько существует четырёхзначных чисел с суммой цифр $11$.

Если сумма первых двух цифр равна $1$, то таких чисел $9$: $$1091,\;1082,\;1073,\;\dots,\;1019.$$

Если сумма первых двух цифр равна $2$, то есть два варианта расстановки первых двух цифр: $1+1$ или $2+0$, и $10$ вариантов расстановки последних двух цифр: $0+9,\;1+8,\;\dots,\;9+0$. Всего чисел $2\cdot 10 = 20$.

Если сумма первых двух цифр равна $3$, то вариантов расстановки первых двух цифр $3$: $3+0$, $2+1$ или $1+2$, а вариантов последних двух цифр $9$: $0+8,\;1+7,\;\dots,\;8+0$. Всего чисел $3\cdot 9 = 27$.

Составим таблицу для подсчета количество вариантов сумм первых и последних пар цифр:

Аналогично рассуждая, получаем, что количество четырёхзначных чисел с суммой цифр $11$ равно $$1\cdot 9 + 2\cdot 10 + 3\cdot 9 + 4\cdot 8 + 5\cdot 7 + 6\cdot 6 + 7\cdot 5 + 8\cdot 4 + 9\cdot 3 + 9\cdot 2 + 8\cdot 1 = 279.$$

Теперь таким же образом посчитаем количество чисел с суммой цифр $20$.

Если сумма первых двух цифр равна $1$, то сумма последних двух равна $19$, что невозможно.

Если сумма первых двух цифр равна $2$, то сумма последних двух равна $18$. Существует $2$ варианта для первых двух цифр: $2+0$ или $1+1$, и $1$ вариант для последних двух цифр: $9+9$.

Аналогично составляем таблицу и получаем, что количество чисел с суммой цифр $20$ равно $$2\cdot 1 + 3\cdot 2 + 4\cdot 3 + 5\cdot 4 + 6\cdot 5 + 7\cdot 6 + 8\cdot 7 + 9\cdot 8 + 9\cdot 9 + 8\cdot 10 + 7\cdot 9 + 6\cdot 8 + 5\cdot 7 + 4\cdot 6 + 3\cdot 5 + 2\cdot 4 + 1\cdot 3 = 597.$$

Тогда, сложив полученные значения, получаем, что количество подходящих троек равно $$4 + 279 + 597 = 880.$$

Ответ: $$\text{a) Да,\quad б) Нет,\quad в) } 880.$$