Тип 19 № 15632

a) Поймём, что ровно две отметки имеют числа, которые кратны каким-то двум числам, но не кратны сразу трём.

Сразу на три представленных числа делятся числа, кратные $60$. Среди чисел от $1$ до $200$ включительно их $3$: $$60,\;120,\;180.$$ Тогда будем вычитать это количество во всех последующих подсчётах.

Теперь посчитаем количество чисел с двумя отметками.

• Числа, кратные $3$ и $4$, то есть кратные $12$, но не кратные $5$. Их среди чисел меньше $200$ равно $$\frac{192}{12} - 3 = 13,$$ поскольку $192$ — наибольшее число до $200$, кратное $12$.
• Числа, кратные $3$ и $5$, то есть кратные $15$, но не кратные $4$. Их среди чисел меньше $200$ равно $$\frac{195}{15} - 3 = 10,$$ поскольку $195$ — наибольшее число до $200$, кратное $15$.
• Числа, кратные $4$ и $5$, то есть кратные $20$, но не кратные $3$. Их среди чисел меньше $200$ равно $$\frac{180}{20} - 3 = 6,$$ поскольку $180$ — наибольшее число до $200$, кратное $20$.

Итого имеем $$13 + 10 + 6 = 29$$ чисел.

Так как $29 < 60$, то среди общего числа карточек наибольшее возможное количество карточек с числами меньше $200$ равняется $29$.

б) Исходя из условия, имеется $20$ чисел, кратных $12$, $20$ чисел, кратных $15$, и $20$ чисел, кратных $20$, при этом нет ни одного числа, кратного $60$.

Отметим, что для оценки максимального числа нам достаточно оценить только максимальное число среди тех, что кратны $20$, так как это произведение наибольшее. То есть если в найденном промежутке найдётся $20$ чисел, кратных $20$, но не кратных $60$, то $20$ чисел, кратных $12$, и $20$ чисел, кратных $15$, но не кратных $60$, тоже найдутся.

Каждое число, кратное $20$, имеет вид $$20k,\quad k \in \mathbb{N}.$$ Поймём, что $k$ имеет вид $3m+1$ или $3m+2$, где $m \ge 0$, $m \in \mathbb{Z}$, так как $k$ не может быть кратно $3$.

Тогда каждое $m$ образует два подходящих числа. Так как чисел $20$, то необходимо использовать не менее $10$ различных значений $m$. Тогда наименьшее возможное наибольшее значение $m$ равно $9$, так как целых чисел от $0$ до $9$ ровно $10$.

Тогда наибольшее $k$ никак не может быть меньше, чем $$3\cdot 9 + 2 = 29,$$ а наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках, не может быть меньше, чем $$20 \cdot 29 = 580.$$

в) По условию среди чисел на карточках ровно $45$ кратны либо $20$, либо $12$. Также оставшиеся $15$ чисел кратны $15$, но не кратны $60$.

Разобьём множество натуральных чисел на следующие отрезки: $$[1;60],\ [61;120],\ \dots,\ [60k+1;60(k+1)],\ \dots,\quad k \ge 0,\ k \in \mathbb{Z}.$$

Рассмотрим сначала первый отрезок. В нём $2$ числа, кратных $20$, и $4$ числа, кратных $12$, при условии, что эти числа не делятся на $60$. Так как $60$ — наименьшее общее кратное $12$ и $20$, то остальные отрезки аналогичны первому.

Действительно, каждое число на отрезке, начинающемся с $60k$, представимо в виде $i + 60k$, где $i \in [1;60]$. При этом $i + 60k$ даёт такой же остаток при делении на $12$, как и $i$, и аналогично такой же остаток при делении на $20$, поскольку $60k$ делится и на $12$, и на $20$.

Следовательно, на каждом таком отрезке лежит ровно $6$ подходящих чисел. Тогда необходимо использовать не менее $8$ отрезков, так как подходящих чисел должно быть $45$.

В последнем отрезке достаточно выбрать три наименьших числа, которые эквивалентны числам $12$, $20$, $24$ из первого отрезка. Отрезок с номером $8$ имеет значение $k = 7$, так как чисел от $0$ до $7$ ровно $8$.

Тогда наименьшее возможное значение наибольшего подходящего числа равно $$24 + 7\cdot 60 = 444.$$

Также необходимо показать, что среди чисел до $444$ найдётся $15$ чисел, кратных $15$, но не кратных $60$. Так как на каждом выделенном отрезке ровно $3$ подходящих числа, соответствующих числам $15$, $30$, $45$ на отрезке $[1;60]$, то среди $7$ отрезков (чтобы не включать неполный восьмой, рассматриваем только первые $7$) найдётся $$7\cdot 3 = 21 > 15$$ подходящих чисел.

Ответ: $$\text{a) } 29,\qquad \text{б) } 580,\qquad \text{в) } 444.$$