Задание 19: Разные задачи — ЕГЭ по математике

Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.

В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается $10a + 4b + c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.

В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом. Если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_1$ , $b_1$ и $c_1$ , а у спортсмена-2 — $a_2$ , $b_2$ и $c_2$ , то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:

$a_1 > a_2$ ,
$a_1 = a_2$ и $b_1 > b_2$ ,
$a_1 = a_2$ , $b_1 = b_2$ и $c_1 > c_2$ .

Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.

a) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов тоже не было бы совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?

б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингов?

в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл $Q$ для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будет присваиваться $10a + k_1 b + k_2 c$ очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения $k_1$ и $k_2$ такие, что $1 \le k_2 < k_1 \le 9$ . Найдите все пары $(k_1; k_2)$ , при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла $Q$ .

Источник: Сборник Ященко, Вариант 15

Решение:

a) Пронумеруем спортсменов с 1 по 10 места и нарисуем таблицу. Для удобства первое место будем называть золотом, второе — серебром, третье — бронзой.

Легко проверить, что обоими способами участники между собой сравнимы, более того, они имеют именно такой порядок мест. Причём каждой медали выдано ровно по 10 штук, также каждый спортсмен заработал не более 10 медалей, то есть такая конфигурация заработанных наград возможна.

б) Для начала поймём, что сумма очков среди всех участников равна 150, так как каждого типа медалей было ровно по 10 штук, 10 золотых дают 100 очков, 10 серебряных — 40 очков, 10 бронзовых — 10 очков.

Теперь давайте предположим, что разрыв очков между 10-м и 9-м местами равняется $k$ . Тогда у 9 места не менее $k$ очков. Так как количество очков у участников попарно различается и является целым числом, то у 8-го места не менее $k + 1$ очков, у 7-го места не менее $k + 2$ и так далее очков. Но тогда суммарное количество очков не менее $k + (k + 1) + \dots + (k + 8) = \frac{(k + k + 8)\cdot 9}{2} = 9k + 36.$

Причём должно выполняться неравенство: $9k + 36 \le 150,$ $k \le 12\tfrac{2}{3}.$

Так как $k$ — целое число, то $k \le 12$ . Предоставим пример для $k = 12$ .

Отметим, что в данном пункте необязательно выполнение сохранности порядка участников при другом способе сравнения. Также отметим, что такая конфигурация возможна, так как каждая медаль встречается ровно 10 раз и нет участника, который получил бы более 10 медалей.

в) Поймём, что аналогично рассуждениям пункта a) суммарное количество баллов не изменяется от распределения медалей и равняется $10 \cdot 10 + k_1 \cdot 10 + k_2 \cdot 10 = 100 + 10(k_1 + k_2).$

Сам средний балл $Q$ равен $\frac{100 + 10(k_1 + k_2)}{m}, \quad 3 \le m \le 10,\quad m \in \mathbb{Z}.$

Действительно, не менее трёх участников получают положительное количество баллов, так как в одном этапе три разных человека получают медали. Причём ровно три участника могут получить положительное количество баллов, например, одинаково выступить на всех 10 этапах, где по итогу один участник получит 10 золотых медалей, другой — 10 серебряных, третий — все бронзовые.

А расширить количество до любого числа в пределах 10 можно, например, тривиально передав некоторые бронзовые медали другим участникам.

Тогда нужно найти числа на отрезке $[120;270]$ с наибольшим числом делителей на отрезке $[3;10]$ . Отметим, что необязательно любое число на отрезке $[120;270]$ можно получить в качестве суммарного количества очков, так как оно как минимум кратно 10, поэтому будем рассматривать только числа, кратные 10.

Отметим, что на отрезке нет числа, которое делилось бы на все целые числа от 3 до 10, так как тогда оно должно делиться на 7, 9 и 10, но наименьшее общее кратное этих чисел равняется 630, что выходит за пределы отрезка.

Рассмотрим теперь случай делимости на 7 из 8 чисел. Отметим, что делимость любого числа с 7 различными целыми значениями $Q$ на 3, 4, 5, 6 однозначно определяется, ведь среди чисел от 3 до 10 есть числа, кратные 3, 4, 5. То есть взаимная простота числа $k$ с одним из чисел из этого множества гарантирует взаимную простоту числа $k$ с ещё одним числом из отрезка от 3 до 10 (числу 3 соответствует число 6, числу 4 — 8, а числу 5 — 10).

Тогда делителей окажется меньше 7. А число 6 есть среди делителей числа $k$ , поскольку оно чётно (более того, кратно 4) и кратно 3.

Тогда мы знаем, что число кратно 4, 6, 10 (делимость на 10 отмечена выше) и лежит в отрезке $[120;270]$ . Тогда оно точно не может делиться на 7, так как наибольшее общее кратное 4, 6, 7 и 10 равняется 420.

Тогда число делится на остальные числа из отрезка. Но наибольшее общее кратное чисел 8, 9, 10 равняется 360, что уже больше 270. То есть этот случай невозможен.

На выбранном отрезке есть числа, делящиеся на 6 из 8 выбранных чисел. Это числа 180 и 240. Получаются они исключением из множества делителей либо 8, либо 9.

Действительно, 180 — это наименьшее общее кратное чисел на отрезке от 3 до 10, не включая 8 и 7. А 240 — наименьшее общее кратное чисел на том же отрезке, за исключением чисел 7 и 9.

Для получения числа 180 необходимо условие $k_1 + k_2 = 8$ . Это пары $(k_1; k_2): (7;1), (6;2), (5;3)$ .

Для получения числа 240 необходимо условие $k_1 + k_2 = 14$ . Это пары $(k_1; k_2): (9;5), (8;6)$ .

Ответ:

a) Да

б) 12

в) $(9;5), (8;6), (7;1), (6;2), (5;3)$