Тип 19 № 15825

Пусть в большом кляссере $a$ ячеек, а в маленьком кляссере $b$ ячеек. Тогда $$160 < a < 170, \qquad 100 < b < 120.$$

Пусть в коллекции Ивана Ильича собрано $x$ монет. Тогда с одной стороны $$x = ka - 7,$$ а с другой $$x = (k+3)b - 7.$$ Таким образом, $$ka - 7 = x = (k+3)b - 7 \quad \Rightarrow \quad ka = (k+3)b.$$

а) Пусть $k=4$. Тогда $4a = 7b$. Значит, так как $4$ не делится на $7$, число $a$ должно делиться на $7$, следовательно, раз $160<a<170$, получаем $a=161$ или $a=168$.

1. $a=161$. Тогда для $k=4$ имеем $$4\cdot161 = 7b, \qquad b=\frac{4\cdot161}{7}=92.$$
2. $a=168$. Тогда для $k=4$ имеем $$4\cdot168 = 7b, \qquad b=\frac{4\cdot168}{7}=96.$$

Так как в обоих случаях получилось, что $b<100$, то случай $k=4$ невозможен.

б) Оценим количество монет в коллекции Ивана Ильича с обеих сторон двумя способами: через оценку $a$ и оценку $b$.

По условию $x=ka-7$. Так как $160<a<170$, то $$160k-7 < ka-7 < 170k-7,$$ значит, $$160k-7 < x < 170k-7.$$

Также по условию $x=(k+3)b-7$. Так как $100<b<120$, то $$100(k+3)-7 < (k+3)b-7 < 120(k+3)-7,$$ значит, $$100k+300-7 < x < 120k+360-7.$$

Оценим $k$ снизу: $$100k+300-7 < 170k-7,$$ $$100k+300 < 170k,$$ $$70k>300,$$ $$k>\frac{30}{7}=4\frac{2}{7}.$$

Так как $k$ — натуральное число, получаем $k\ge5$, и попутно ещё раз доказали, что $k\ne4$.

Рассмотрим два случая: $k=5$ и $k\ge6$.

Если $k\ge6$, то так как $a>150$, $$x=ka-7\ge6\cdot151-7=899.$$

Если $k=5$, то по доказанному ранее $$ka=(k+3)b \quad \Rightarrow \quad 5a=8b.$$

Значит, так как $5$ не делится на $8$, число $a$ должно делиться на $8$, следовательно, раз $160<a<170$, получаем $a=168$. Тогда $$x=5\cdot168-7=833.$$

Приведём пример для $x=833$. Такое количество монет можно разложить в $5$ больших кляссеров по $168$ ячеек, при этом останется $7$ свободных ячеек: $$833 = 5\cdot168-7.$$

Также это количество монет можно разложить в $8$ маленьких кляссеров по $105$ ячеек, при этом останется $7$ свободных ячеек: $$833 = 8\cdot105-7.$$

в) Оценим $k$ сверху: $$160k-7 < x < 120k+360-7,$$ $$160k-7 < 120k+360-7,$$ $$160k < 120k+360,$$ $$40k<360,$$ $$k<9.$$

Так как $k$ — натуральное число, получаем $k\le8$.

1. Если $k=8$, то $$ka=(k+3)b \Rightarrow 8a=11b.$$ Значит, так как $8$ не делится на $11$, число $a$ должно делиться на $11$, следовательно, раз $160<a<170$, получаем $a=165$. Тогда $$b=\frac{8\cdot165}{11}=120.$$ Так как $b<120$, то $k\ne8$.
2. Если $k=7$, то $$ka=(k+3)b \Rightarrow 7a=10b.$$ Значит, так как $7$ не делится на $10$, число $a$ должно делиться на $10$. Но так как $160<a<170$, таких значений нет. Следовательно, $k\ne7$.
3. Если $k=6$, то $$ka=(k+3)b \Rightarrow 6a=9b \Rightarrow 2a=3b.$$ Значит, так как $2$ не делится на $3$, число $a$ должно делиться на $3$, следовательно, раз $160<a<170$, получаем $a=162,163,168$. При фиксированном $k$ максимальное значение $x$ достигается при максимальном возможном $a$: $$x=6\cdot168-7=1001,$$ $$b=\frac{2\cdot168}{3}=112.$$

При $k=5$ мы находили, что количество монет будет $833$. Значит, $1001$ — максимальное возможное количество монет.

Приведём пример для $x=1001$. Такое количество монет можно разложить в $6$ больших кляссеров по $168$ ячеек, при этом останется $5$ свободных ячеек: $$1001 = 6\cdot168-7.$$

Также это количество монет можно разложить в $9$ маленьких кляссеров по $119$ ячеек, при этом останется $5$ свободных ячеек: $$1001 = 9\cdot119-7.$$

Ответ:

• [a)] а) Нет
• [б)]б) $833$
• [в)]в) $1001$