Тип 19 № 15831

а) Пусть Мите выпало $15$ раз число $1$, $15$ раз число $3$ и $15$ раз число $4$. Тогда всего он совершил $$15+15+15=45$$ бросков, а их результат равен $$15\cdot(-1)+15\cdot(-3)+15\cdot4$$ $$=-15-45+60=-60+60=0.$$ Таким образом, фишка Мити оказалась на отметке «$0$».

б) Разобьём броски на пары «чётное число — нечётное число». Мы можем это сделать, так как по условию чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Внутри такой пары максимально возможное смещение влево равно $5-2=3$, поскольку наибольшее нечётное число на кубике равно $5$, а наименьшее чётное равно $2$.

Тогда для того, чтобы оказаться в точке «$-35$», необходимо не менее $$\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}$$ пар. Поскольку число пар целое, их не менее $12$. Но давайте поймём, что внутри пары шаг обязательно равен нечётному числу, так как мы вычитаем из нечётного числа чётное. То есть за $12$ таких пар мы переместимся $12$ раз на нечётное число шагов, что является чётным числом в сумме, но $-35$ — число нечётное, поэтому пар не менее $13$. То есть всего бросков не менее $26$. Для $13$ пар представим пример.

Пусть Мите выпало $13$ раз число $5$, $12$ раз число $2$ и $1$ раз число $6$. Тогда его фишка оказалась на отметке $$13\cdot(-5)+12\cdot2+1\cdot6$$ $$=-65+24+6=-35.$$

в) Оценим снизу номер позиции фишки, если было сделано $2n$ бросков, то есть выпало $n$ чётных и $n$ нечётных чисел. Пусть выпало $a$ единиц, $b$ троек, $c$ четвёрок, $d$ шестёрок. Тогда количества пятёрок и двоек однозначно восстанавливаются — это $n-a-b$ и $n-c-d$ соответственно. Значит, позиция фишки будет равна $$-40=-a-3b-5(n-a-b)+4c+6d+2(n-c-d)=$$ $$=-a-3b-5n+5a+5b+4c+6d+2n-2c-2d=$$ $$=4a+2b-3n+2c+4d=4a+2b+2c+4d-3n.$$

Так как каждое число выпало не менее $1$ раза, причём все числа выпали разное количество раз, то имеют место неравенства: $$a+b+c+d\ge1+2+3+4=10,$$ $$a+d\ge1+2=3.$$

Тогда $$4a+2b+2c+4d=2(a+b+c+d)+2(a+d)\ge$$ $$\ge2\cdot10+2\cdot3=20+6=26.$$

Откуда $$4a+2b+2c+4d\ge26,$$ $$4a+2b+2c+4d-3n\ge26-3n,$$ $$-42\ge26-3n,$$ $$3n\ge26+42,$$ $$3n\ge68,$$ $$n\ge23.$$

При этом $n$ не может быть нечётным числом, так как при нечётных $n$ фишка оказывается на позициях с нечётной координатой. Тогда $n\ge24$. Таким образом, всего Митя сделал не менее $$2n=2\cdot24=48$$ бросков.

Приведём пример. Пусть число $1$ было выброшено $1$ раз, число $3$ — $3$ раза, число $5$ — $20$ раз, число $6$ — $4$ раза, число $4$ — $2$ раза, число $2$ — $18$ раз. Действительно, каждое число выпало не менее раза, нет двух чисел, которые выпали одинаковое количество раз, причём как чётные, так и нечётные числа выпали по $24$ раза. Итоговая позиция фишки равна $$1\cdot(-1)+3\cdot(-3)+20\cdot(-5)+4\cdot6+2\cdot4+18\cdot2$$ $$=-1-9-100+24+8+36=-110+68=-42.$$

Итого, Митя сделал $48$ бросков, что является минимально возможным количеством бросков, при котором выполняется условие задачи, и фишка оказалась на отметке «$-42$».

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)]б) $26$
• [в)]в) $48$