Задание 19: Разные задачи — ЕГЭ по математике

В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена–1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_1$ , $b_1$ и $c_1$ , а у спортсмена–2 — $a_2$ , $b_2$ и $c_2$ , то рейтинг спортсмена–1 был выше рейтинга спортсмена–2 в следующих случаях:

$\begin{align*} a_1 &> a_2, \\ a_1 &= a_2 \text{ и } b_1 > b_2, \\ a_1 &= a_2,\, b_1 = b_2 \text{ и } c_1 > c_2. \end{align*}$ Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковыми.

а) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?

б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше D. Найдите наибольшее возможное значение D.

в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средними значениями набранных очков у спортсмена с наивысшим рейтингом и у спортсмена с наименьшим рейтингом.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 16

Решение:

% Обозначения для удобства Обозначим $C_k$ — $k$ -й спортсмен.
$(a_k; b_k; c_k) \Rightarrow R_k = 10a_k + 4b_k + c_k$ — формула для рейтинга.
$c_1$ — спортсмен с самым высоким рейтингом по новой формуле.

% Пример распределения рейтингов $\begin{aligned} C_1(0; 0; 10) &\Rightarrow R_1 = 10 \\ C_2(1; 0; 9) &\Rightarrow R_2 = 19 \\ C_3(1; 1; 8) &\Rightarrow R_3 = 23 \\ C_4(1; 2; 7) &\Rightarrow R_4 = 27 \\ C_5(1; 3; 6) &\Rightarrow R_5 = 31 \\ C_6(1; 4; 5) &\Rightarrow R_6 = 35 \\ C_7(1; 5; 4) &\Rightarrow R_7 = 39 \\ C_8(1; 6; 3) &\Rightarrow R_8 = 43 \\ C_9(1; 7; 2) &\Rightarrow R_9 = 47 \\ C_{10}(2; 0; 8) &\Rightarrow R_{10} = 48 \end{aligned}$

% Проверка на пункт а) а)
Проверим, может ли спортсмен с наивысшим рейтингом в этом году (например, $C_{10}$ ) иметь наименьший рейтинг по старым правилам.
Сравним $(a;b;c)$ : $C_1: (0; 0; 10),\quad C_{10}: (2; 0; 8)$

% У C_{10} больше первых мест, чем у C_1 → рейтинг выше Видим, что $a_{10} > a_1$ , следовательно, рейтинг $C_{10}$ выше и по старым правилам.
Ответ: Да

б)
Суммарное количество очков за один этап: $10 + 4 + 1 = 15$
Всего этапов — 10, значит всего очков: $150$
Предположим, что разность между любыми двумя рейтингами хотя бы $r$ .
Пусть рейтинги возрастают: $R_1, R_2, \ldots, R_{10}, \text{ где } R_{i+1} - R_i \ge r$

Минимальная сумма тогда: $R_1 + R_2 + \dots + R_{10} \ge 0 + r + 2r + \dots + 9r = 45r \Rightarrow 45r \le 150 \Rightarrow r \le \dfrac{10}{3} \Rightarrow r \le 3$

Попробуем $r = 3$ , это наибольшее целое значение, подходящее по условию.
Ответ: 3

в)
Обозначим сумму очков: $\sum_{-} = R_{10} + R_9 + \dots + R_6 \quad \text{(5 наименьших)} \\ \sum_{+} = R_5 + R_4 + \dots + R_1 \quad \text{(5 наибольших)} \\$

Разница между средними арифметическими: $\frac{\sum_{+}}{5} - \frac{\sum_{-}}{5} = \frac{\sum_{+} - \sum_{-}}{5} = \frac{2k - 150}{5}, \text{ где } k = \sum_{+}$

% Нужно минимизировать эту величину Минимум этой величины достигается при минимальном $2k - 150$ → минимизируем $k$

Но $k = \sum_{+}$ — сумма 5 наибольших рейтингов, а $\sum_{-} = 150 - k$ — 5 наименьших.
При равенстве сумм: $k = 75 \Rightarrow$ разница будет $0$ .
Но нам нужна наименьшая положительная разность, при которой все рейтинги — разные.

Подбором можно найти: $\sum_{+} = 90,\quad \sum_{-} = 60 \Rightarrow \frac{90 - 60}{5} = \boxed{6}$

Ответ:
а) да
б) $3$
в) $6$