Тип 19 № 15833

Сначала найдём суммарную массу всех камней: $$2 \cdot 100 + 6 \cdot 20 + 4 \cdot 4 = 200 + 120 + 16 = 336\ \text{тонн}.$$

а)

Обозначим массу первой группы как $x$. Тогда, по условию: $$\text{вторая группа: } x - 12, \quad \text{третья группа: } x + 12.$$ Сумма масс всех групп: $$x + (x - 12) + (x + 12) = 3x = 336 \Rightarrow x = 112.$$ Значит, массы групп: $112$, $100$ и $124$ тонн.

Проверим, можно ли собрать такие группы из имеющихся камней:

• В первую группу положим один камень на 100 т и три по 4 т: $100 + 3 \cdot 4 = 112$.
• Во вторую — один камень на 100 т: $100$.
• В третью — шесть по 20 т и один по 4 т: $6 \cdot 20 + 4 = 124$.

Такое разбиение возможно.

б)

Пусть масса каждой группы равна $y$. Тогда: $$3y = 336 \Rightarrow y = 112.$$ То есть требуется разложить камни на три группы по 112 тонн.

Попробуем:

• Первая группа: 1 камень на 100 т и 3 по 4 т: $100 + 3 \cdot 4 = 112$.
• Осталось 1 камень на 100 т, 6 по 20 т и 1 по 4 т.
• Вторая группа: чтобы получить 112 т, положим 6 камней по 20 т (это 120 т), но тогда потребуется камень массой $-8$ т — невозможно.

Альтернативно: если в одну из групп входит 3 камня по 4 т (12 т), то других таких групп не собрать — 4-тонных камней всего 4.

Значит, невозможно разложить на 3 группы по 112 тонн.

в)

Пусть массы групп — $m_1 > m_2 > m_3$, а $d$ — минимальное возможное значение, при котором: $$m_1 - m_2 \leq d \quad \text{и} \quad m_2 - m_3 \leq d.$$ Сумма всех трёх масс: $m_1 + m_2 + m_3 = 336$.

Так как все массы — целые и делятся на 4 (все камни кратны 4), $d$ также должно делиться на 4.

Из б) знаем, что $d \ne 0$, значит минимум — $d = 4$.

Проверим $d = 4$.

• Если $m_1 = 116$, то остальные две группы в сумме дают $220$ тонн. Надо распределить это как $m_2 = 112$, $m_3 = 108$. Но камней всего 336 т, а $116 + 112 + 108 = 336$, всё хорошо.
• Проверим подбор: 4-тонных камней не хватит, чтобы одновременно собрать группы с разницей ровно в 4 т. Подбор приводит к противоречиям (см. б)).
• Проверим $d = 8$. Возьмём: $m_1 = 120$, $m_2 = 112$, $m_3 = 104$. Это удовлетворяет: $$m_1 - m_2 = 8, \quad m_2 - m_3 = 8.$$ Проверим возможность разложения: - В первую группу: 6 камней по 20 т = 120 т. - Во вторую: 1 камень на 100 т и 3 по 4 т = $100 + 12 = 112$. - В третью: 1 камень на 100 т и 1 по 4 т = $100 + 4 = 104$.

Такое разбиение возможно. Значит, минимальное возможное $d = 8$.

Ответ:
а) Да, можно.
б) Нет, нельзя.
в) $d = 8$.