Задание 19: Разные задачи — ЕГЭ по математике

Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.

[а)]а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
[б)]б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
[в)]в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами $m_1, m_2$ и $m_3$ так, что $m_1 \ge m_2 \ge m_3$ . Найдите такое наименьшее число $d$ , что $m_1 - m_2 \le d \quad \text{и} \quad m_2 - m_3 \le d.$

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 18

Решение:

а) Вычислим общую массу камней: $4 \cdot 100 + 5 \cdot 25 + 6 \cdot 4 = 400 + 125 + 24 = 549 \text{ тонн}.$

Пусть масса камней в каждой группе равна $x$ тонн. Тогда имеем: $x + x + x = 549 \Rightarrow 3x = 549 \Rightarrow x = 183.$

Тогда в каждой группе суммарный вес камней должен составлять 183 тонны.

Но заметим, что камней по 100 тонн 4 штуки, то есть в какой-то группе должно лежать минимум два камня по 100 тонн, так как иначе можно разложить максимум 3 камня, чего недостаточно. Но два камня весом 100 тонн имеют суммарный вес 200 тонн, что больше 183 тонн.

Тогда такое невозможно.

б) Суммарная масса всех камней равна 549 тонн.

Пусть масса камней в первой группе равна $x$ тонн. Тогда масса камней во второй группе равна $x - 50$ тонн, а в третьей группе — $x + 50$ тонн. Тогда имеем: $x + x - 50 + x + 50 = 549 \Rightarrow 3x = 549 \Rightarrow x = 183.$

То есть в первой группе масса камней равна 183 тоннам, во второй — 133 тоннам, а в третьей — 233 тоннам.

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Пусть в первой группе 1 камень весом 100 тонн, 3 камня весом 25 тонн и 2 камня весом 4 тонны. Во второй группе 2 камня весом по 100 тонн, 1 камень весом 25 тонн и 2 камня весом 4 тонны. Тогда в третьей группе 1 камень весом 100 тонн, 1 камень весом 25 тонн и 2 камня весом 4 тонны. Получим, что в первой группе суммарный вес камней равняется $100 + 3 \cdot 25 + 2 \cdot 4 = 183$ тоннам, во второй группе $2 \cdot 100 + 25 + 2 \cdot 4 = 233$ тоннам. Необходимое условие выполнено.

в) Пусть вес камней в первой группе равен $x$ тонн, во второй — $y$ тонн. Тогда вес третьей группы камней равняется $549 - x - y$ тонн.

Поймем, что $m_1 = x \ge 200$ , поскольку, как мы отметили в пункте (а), существует куча, где лежит не менее 2 камней по 100 тонн, то есть куча с весом не менее 200 тонн.

Тогда $m_2 + m_3 \le 549 - 200 = 349.$

Предположим, что $d \le 16$ . Но тогда: $m_2 \ge m_1 - 16 \ge 200 - 16 = 184$ $m_3 \ge m_2 - 16 \ge 184 - 16 = 168$ $m_2 + m_3 \ge 184 + 168 = 352 > 349.$

То есть $d \ge 17$ . На 17 есть пример.

В первой группе лежит 2 камня весом 100 тонн. Во второй группе лежит один камень весом 100 тонн, 3 камня весом по 25 тонн, 2 камня весом 4 тонны. В третьей группе лежит 1 камень весом 100 тонн, 2 камня весом 25 тонн, 4 камня весом 4 тонны. Получим группы с весами 200, 183 и 166 тонн. Тогда $200 - 183 = 17 \le 17,\quad 183 - 166 = 17 \le 17.$

То есть $d = 17$ .

Ответ:
а) Нет
б) Да
в) 17