Задание 19: Свойства различных чисел — ЕГЭ по математике

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор следующим образом:

к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой оно было записано ;
вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
[а)] а)Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
[б)] б)Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
[в)] в)Найдите наибольшее возможное значение отношения суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 19

Решение:

а)

Рассмотрим набор, в котором присутствуют как однозначные, так и двузначные числа. Пусть в набор входят числа $3$ , $15$ , $15$ .

Однозначное число $3$ становится $33$ (приписали ту же цифру).
Двузначное число $15$ заменяется на $(1 + 5)/2 = 3$ .

Тогда: $S_1 = 3 + 15 + 15 = 33,\quad S_2 = 33 + 3 + 3 = 39.$ Получается, $S_2 - S_1 = 6$ — условие выполняется. Ответ — да, возможно.

б)

Пусть в первом наборе: $3$ , $71$ .

$3 \to 33$ ,
$71 \to (7 + 1)/2 = 4$ .

$S_1 = 3 + 71 = 74,\quad S_2 = 33 + 4 = 37.$ $S_1 = 2 \cdot S_2.$ Да, сумма первого набора может быть в два раза больше суммы второго.

в)

Нужно найти наибольшее возможное значение отношения $\frac{S_2}{S_1},$ если:

В первом наборе одинаковых чисел не было;
Количество однозначных и двузначных чисел одинаково.

Обозначим:

$a$ — однозначное число (в первом наборе), тогда после преобразования: $a \to 11a$ (число с одинаковыми цифрами).
$10b + c$ — двузначное число, оно переходит в $\dfrac{b + c}{2}$ .

Пусть $S_1 = a + 10b + c$ , $S_2 = 11a + \dfrac{b + c}{2}$ .

Тогда отношение: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{11a + \dfrac{b + c}{2}}{a + 10b + c}.$

Упростим числитель: $\frac{22a + b + c}{2(a + 10b + c)}.$

Покажем, что максимум этого отношения — 5.

Найдём максимальное значение дроби при допустимых $a, b, c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ .

Пусть $a = 9$ (максимум), $b = c = 1$ (минимум). Тогда: $\frac{22 \cdot 9 + 1 + 1}{2(9 + 10 \cdot 1 + 1)} = \frac{198 + 2}{2 \cdot 20} = \frac{200}{40} = 5.$

То есть отношение может быть максимум 5.

Проверим, можно ли достичь этого. Возьмём: $a = 9 \Rightarrow a \to 99,\quad 11 \to 1.$ Тогда: $S_1 = 11 + 9 = 20,\quad S_2 = 1 + 99 = 100,\quad \frac{S_2}{S_1} = \frac{100}{20} = 5.$

Значит, максимум достижим.

Ответ:
а) Да, может.
б) Да, может.
в) Максимальное значение отношения — $5$ .