Задание 19: Свойства различных чисел — ЕГЭ по математике

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:

к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.

[а)]а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора?
[б)]б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора?
[в)] в)Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 20

Решение:

а) Пусть в первом наборе написаны числа 17, 11, 1. Тогда во втором наборе получатся числа: $\frac{1 + 7}{2} = 4,\quad \frac{1 + 1}{2} = 1,\quad 11.$ Сумма чисел в первом наборе равна $17 + 11 + 1 = 29$ , а сумма чисел во втором наборе равна $4 + 1 + 11 = 16 = 29 - 13$ . Что и требовалось.

б) Рассмотрим числа 33 и 7. Сумма чисел в наборе $33 + 7 = 40$ . В новом наборе будут числа 3 и 77. Сумма этих чисел $3 + 77 = 80 = 40 \cdot 2$ . То есть такое возможно.

в) Разделим первый набор чисел на две группы: однозначные и двузначные. Преобразование для однозначного числа $k$ делает из числа $k$ число $\overline{kk} = 11k$ . Обозначим однозначные числа первого набора $k_1, k_2, \dots, k_n$ . Двузначные числа первого набора — $a_1b_1, a_2b_2, \dots, a_n b_n$ . Пусть $k_1 + k_2 + \dots + k_n = S_1$ . Тогда отношение суммы первого набора к сумме второго набора равняется:

$\frac{S_1 + a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_n b_n}{11S_1 + \frac{a_1 + b_1 + a_2 + b_2 + \dots + a_n + b_n}{2}}.$

Обозначим $A = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ , $B = b_1 + b_2 + \dots + b_n$ .

Тогда отношение выше равно: $\frac{2S_1 + 20A + 2B}{22S_1 + A + B}.$

Докажем следующий факт: $\frac{2S_1 + 20A + 2B}{22S_1 + A + B} \leq 5{,}75.$

Домножим обе части на знаменатель: $2S_1 + 20A + 2B \leq 126{,}5S_1 + 5{,}75A + 5{,}75B,$ $14{,}25A \leq 124{,}5S_1 + 3{,}75B.$

Домножим всё на 4: $57A \leq 498S_1 + 15B.$

Так как в первом наборе нет одинаковых чисел, а возможных цифр всего 5, то количество однозначных чисел в первом наборе не превышает 5, то есть $n \leq 5$ .

Причем тогда: $S_1 \geq 1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2.$

Так как все цифры из множества $\{b_1, b_2, \dots, b_n\}$ не меньше 1 (так как 0 в записи по условию не используется), то можно оценить число $B$ снизу значением $n$ , так как в этой сумме $n$ чисел не меньше 1.

При этом значение $A$ можно оценить сверху числом $9n$ , так как все цифры из множества $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ не превышают 9, а в этой сумме $n$ чисел не больше 9.

То есть: $57A \leq 57 \cdot 9n = 513n.$

Теперь имеем: $498S_1 + 15B \geq 498n^2 + 15n \geq 513n \geq 57A.$

Мы пришли к тождественному неравенству. Тогда рассматриваемое отношение не превышает $5{,}75$ . Равенство достигается, когда все приведённые выше оценки также обращаются в равенство. То есть $n = 1$ , $S_1 = 1$ , $A = 9$ , $B = 1$ . Значит, в первом наборе два числа — это 91 и 1. Тогда во втором наборе будут числа 5 и 11. Сумма первого набора 92, а сумма второго 16. Действительно, отношение суммы первого набора к сумме второго набора равняется $5{,}75$ .

Ответ:

[а)]а) Да
[б)]б) Да
[в)]в) $5{,}75$