Тип 20 № 15842

а) Да, может, например: $$\sqrt[3]{18\cdot 36\cdot 72}=\sqrt[3]{36^3}=36.$$

Предисловие к пунктам б) и в).

Очевидно, что если среднее геометрическое набора из нескольких различных чисел равно $g$, то наименьшее число из набора меньше, чем $g$. При этом среди простых делителей чисел набора не должно встречаться простых чисел, отличных от простых делителей $g$.

Чтобы воспользоваться этим фактом, выпишем двузначные числа, простые делители которых состоят только из простых делителей соответствующего значения среднего геометрического.

Как видно из таблицы, средним геометрическим в данном интервале могут быть числа: $$18,\;20,\;22,\;24.$$

б) Будем считать, что $a,b,c,d$ — различные двузначные числа и $$a<b<c<d.$$

• Пусть $$\sqrt[4]{abcd}=18.$$ Тогда $$abcd=18^4=(2\cdot 3^2)^4=2^4\cdot 3^8.$$ Тогда $a=16$ или $a=12$. - Пусть $a=16=2^4$. Тогда $b,c,d$ обязаны быть степенями тройки, иначе либо степень двойки в произведении $abcd$ будет больше $4$, либо появится множитель, отличный от $2$ и $3$. Но среди двузначных чисел всего два числа, равные степеням тройки: $27$ и $81$. Тогда $a\neq 16$. - Пусть $a=12$. Тогда $$bcd=\frac{2^4\cdot 3^8}{2^2\cdot 3}=2^2\cdot 3^7.$$ Заметим, что $b\neq 16$, так как тогда степень двойки в $abcd$ будет больше $4$. Значит, $b\ge 18$. Рассмотрим, чему может быть равно $c$. Оно больше $18$. Если $c=19,20,21,22,23,25$ или $26$, то в произведении $abcd$ появятся простые множители, отличные от $2$ и $3$. Также $c\neq 24=2^3\cdot 3$, так как тогда степень двойки будет больше $4$. Следовательно, $c\ge 27$. Тогда $$d\le \frac{2^2\cdot 3^7}{18\cdot 27}=18,$$ но $d>27$ — противоречие. Значит, $a\neq 12$. Таким образом, среднее геометрическое четырёх различных двузначных чисел не может равняться $18$.

• На $20$ есть пример: $a=10$, $b=20$, $c=25$, $d=32$. Проверим: $$abcd=10\cdot 20\cdot 25\cdot 32=(2\cdot 5)(2^2\cdot 5)(5^2)(2^5)=2^8\cdot 5^4.$$ Тогда $$\sqrt[4]{abcd}=\sqrt[4]{2^8\cdot 5^4}=2^2\cdot 5=20.$$

Следовательно, ответ в пункте б): $$20.$$

в) Будем считать, что $a,b,c,d,e,f$ — различные двузначные числа и $$a<b<c<d<e<f.$$

• Пусть $$\sqrt[6]{abcdef}=18.$$ Тогда $$abcdef=18^6=(2\cdot 3^2)^6=2^6\cdot 3^{12}.$$ Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только $2$ и $3$, это $$12,\;16,\;18,\;24,\;27,\;32.$$ Сравним их произведение с $18^6$: $$18^6 \;\text{vs}\; 12\cdot 16\cdot 18\cdot 24\cdot 27\cdot 32.$$ После сокращений получаем: $$3^5<2^9,$$ то есть $$243<512.$$ Следовательно, $$\sqrt[6]{abcdef}\neq 18.$$
• Пусть $$\sqrt[6]{abcdef}=20.$$ Тогда $$abcdef=20^6=(2^2\cdot 5)^6=2^{12}\cdot 5^6.$$ Первые шесть двузначных чисел с простыми делителями $2$ и $5$: $$10,\;16,\;20,\;25,\;32,\;40.$$ Сравнивая произведения, получаем: $$5<8,$$ следовательно, $$\sqrt[6]{abcdef}\neq 20.$$
• Пусть $$\sqrt[6]{abcdef}=22.$$ Тогда $$abcdef=22^6=(2\cdot 11)^6=2^6\cdot 11^6.$$ Первые шесть двузначных чисел с простыми делителями $2$ и $11$: $$11,\;16,\;22,\;32,\;44,\;64.$$ Сравнивая произведения, получаем: $$11\sqrt{11}<64,$$ следовательно, $$\sqrt[6]{abcdef}\neq 22.$$
• На $24$ есть пример: $$a=12,\;b=16,\;c=18,\;d=24,\;e=36,\;f=64.$$ Проверим: $$abcdef=12\cdot 16\cdot 18\cdot 24\cdot 36\cdot 64 =(2^2\cdot 3)(2^4)(2\cdot 3^2)(2^3\cdot 3)(2^2\cdot 3^2)(2^6) =2^{18}\cdot 3^6.$$ Тогда $$\sqrt[6]{abcdef}=\sqrt[6]{2^{18}\cdot 3^6}=2^3\cdot 3=24.$$

Ответ:

• [a)]а) Да, может
• [б)]б) $20$
• [в)]в) $24$