Тип 19 № 15843

Пусть в первом наборе $a$ чисел, во втором $b$ чисел. Тогда $$\frac{150a + 50b}{a + b} = 78,$$ $$150a + 50b = 78a + 78b,$$ $$72a = 28b,$$ $$18a = 7b.$$

Тогда $b$ делится на 18, пусть $b = 18d$. Тогда $a = 7d$.

а) Пусть $n = 25$. Тогда теперь все числа в первом наборе равны 125. Значит, $$\frac{125a + 50b}{a + b} = \frac{75a}{a + b} + 50 = \frac{75 \cdot 7d}{7d + 18d} + 50$$ $$= \frac{25 \cdot 3 \cdot 7d}{25d} + 50 = 21 + 50 = 71.$$

б) Пусть может, тогда после этой операции среднее арифметическое равно $$\frac{(150 - m)a + 50b}{a + b} = \frac{150a + 50b}{a + b} - \frac{am}{a + b} = 78 - \frac{am}{a + b} = 70.$$

Значит, $$\frac{am}{a + b} = 8.$$ Тогда $$8 = \frac{am}{a + b} = \frac{7dm}{7d + 18d} = \frac{7m}{25}.$$

Следовательно, $7m = 8 \cdot 25$, но число слева делится на 7, а справа — нет, значит, такого натурального $m$ не существует.

в) Пусть мы вычитаем $k \le 149$ из первого набора. Тогда новое среднее арифметическое равно $$\frac{7d(150 - k) + 18d(50 + k)}{25d} = \frac{7 \cdot 150 - 7k + 18 \cdot 50 + 18k}{25} = \frac{1950 + 11k}{25} = 78 + \frac{11k}{25}.$$

Таким образом, $11k$ должно делиться на 25, то есть $k$ должно делиться на 25. Мы знаем, что $1 \le k \le 149$. Значит, подойдут $k$, равные 25, 50, 75, 100, 125. Таким значениям $k$ соответствуют следующие значения среднего арифметического: 89, 100, 111, 122, 133.

Пусть вычитаем $k \le 49$ из второго набора. Тогда новое среднее арифметическое равно $$\frac{7d(150 + k) + 18d(50 - k)}{25d} = \frac{7 \cdot 150 + 7k + 18 \cdot 50 - 18k}{25} = \frac{1950 - 11k}{25} = 78 - \frac{11k}{25}.$$

Таким образом, $11k$ должно делиться на 25, то есть $k$ должно делиться на 25. Мы знаем, что $1 \le k \le 49$. Значит, подойдёт $k$, равное 25. Таким значениям $k$ соответствуют следующие значения среднего арифметического: 67.

Итого получаем 6 возможных значений среднего арифметического: 67, 89, 100, 111, 122, 133.

Ответ:

• [а)] а)Да, может
• [б)] б)Нет, не может
• [в)] в)67, 89, 100, 111, 122, 133