Тип 19 № 15844

Пусть в первом наборе $a$ чисел, во втором — $b$ чисел. Тогда по условию $$\frac{175a + 80b}{a+b} = 145.$$ Отсюда $$175a + 80b = 145a + 145b,$$ $$30a = 65b,$$ $$6a = 13b.$$

Следовательно, $b$ делится на $6$. Пусть $b = 6d$, тогда $a = 13d$.

а) Пусть $n=19$. Тогда все числа первого набора равны $175-19=156$. Новое среднее арифметическое равно $$\frac{156a + 80b}{a+b} = \frac{76a}{a+b} + 80 = \frac{76\cdot 13d}{13d+6d} + 80 = \frac{19\cdot 4\cdot 13d}{19d} + 80 = 52 + 80 = 132.$$

Следовательно, да, такое возможно.

б) Пусть после уменьшения среднее арифметическое стало равно $135$. Тогда $$\frac{(175-m)a + 80b}{a+b} = \frac{175a + 80b}{a+b} - \frac{am}{a+b} = 145 - \frac{am}{a+b} = 135.$$

Отсюда $$\frac{am}{a+b} = 10.$$

Подставим $a=13d$, $b=6d$: $$10 = \frac{13dm}{19d} = \frac{13m}{19}.$$

Тогда $$13m = 190.$$

Левая часть делится на $13$, правая — нет, противоречие. Следовательно, такого натурального $m$ не существует.

Ответ: нет.

в)

Случай 1. Уменьшаем числа первого набора и увеличиваем числа второго набора на $k$, где $1 \le k \le 174$.

Новое среднее арифметическое: $$\frac{13d(175-k) + 6d(80+k)}{19d} = \frac{13\cdot175 - 13k + 6\cdot80 + 6k}{19} = \frac{2755 - 7k}{19} = 145 - \frac{7k}{19}.$$

Чтобы среднее было целым, $7k$ должно делиться на $19$, значит $k$ делится на $19$. При $1 \le k \le 174$ получаем $$k = 19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171.$$

Соответствующие значения среднего арифметического: $$138,\;131,\;124,\;117,\;110,\;103,\;96,\;89,\;82.$$

Случай 2. Увеличиваем числа первого набора и уменьшаем числа второго набора на $k$, где $1 \le k \le 79$.

Тогда $$\frac{13d(175+k) + 6d(80-k)}{19d} = \frac{2755 + 7k}{19} = 145 + \frac{7k}{19}.$$

Аналогично, $k$ делится на $19$: $$k = 19, 38, 57, 76.$$

Соответствующие значения среднего арифметического: $$152,\;159,\;166,\;173.$$

Итак, все возможные значения среднего арифметического: $$82,\;89,\;96,\;103,\;110,\;117,\;124,\;131,\;138,\;152,\;159,\;166,\;173.$$

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)]б) Нет
• [в)]в) $82,\;89,\;96,\;103,\;110,\;117,\;124,\;131,\;138,\;152,\;159,\;166,\;173$