Задание 19: Свойства различных чисел — ЕГЭ по математике

Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$ , где $a,b,c,d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a\neq 0$ .

[a)]а) Может ли произведение $a\cdot b\cdot c\cdot d$ быть больше суммы $a+b+c+d$ в $5$ раз?
[б)]б) Цифры $a,b,c,d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что $a\cdot b\cdot c\cdot d > a+b+c+d?$
[в)]в) Известно, что $a\cdot b\cdot c\cdot d = k(a+b+c+d),$ где $k$ — двузначное число. При каком наибольшем значении $\overline{abcd}$ число $k$ будет наибольшим?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 30

Решение:

а) Число $1285$ подходит: $1\cdot 2\cdot 8\cdot 5 = 80 = 5\cdot 16 = 5(1+2+5+8).$

Следовательно, ответ положительный.

б) Разберём несколько случаев.

Если в числе $\overline{abcd}$ есть цифра $0$ , то неравенство очевидно неверно.
Если в числе $\overline{abcd}$ есть цифра $1$ , возможны два варианта:

- Если в числе нет цифры $2$ , то произведение цифр не меньше $1\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 60,$ а сумма цифр не превосходит $4\cdot 9 = 36.$ - Если в числе есть цифры $1$ и $2$ , то произведение не меньше $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 24,$ а сумма цифр не больше $1+2+9+9 = 21.$

Если наименьшая цифра хотя бы $2$ , то, так как все цифры различны, $a\cdot b\cdot c\cdot d \ge 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120,$ а $a+b+c+d \le 9\cdot 4 = 36.$

Следовательно, неравенство выполняется для всех четырёхзначных чисел с различными цифрами и без цифры $0$ .

Количество таких чисел равно $9\cdot 8\cdot 7\cdot 6 = 3024.$

в) Очевидно, что при максимальном $k$ ни одна из цифр не равна $0$ . Так как $k$ — двузначное число, $k<100$ . Начнём перебор.

$k=99$ . Тогда $\overline{abcd}$ делится на $11$ , что невозможно для набора цифр.
$k=98=7^2\cdot 2$ . Тогда число делится на $49$ , то есть как минимум две цифры равны $7$ . Пусть $a=7$ , $b=7$ , $c=2x$ , где $1\le x\le 4$ . Тогда $xd = 14 + 2x + d,$ $xd - 2x - d + 2 = 16,$ $(x-1)(d-2) = 16.$ Но при $x\le 4$ и $d\le 9$ имеем $(x-1)(d-2) \le 2\cdot 4 = 8 < 16,$ противоречие.
$k=97$ — простое число, деление невозможно.

Рассмотрим $k=96$ . Возьмём цифры $5,8,8,9$ . Тогда $a\cdot b\cdot c\cdot d = 2^6\cdot 3^2\cdot 5, \quad a+b+c+d = 30 = 2\cdot 3\cdot 5,$ $k=\frac{2^6\cdot 3^2\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 5} =2^5\cdot 3=96.$

Покажем, что большее число невозможно. Пусть $\overline{abcd}>9885$ , тогда $a=9$ .

Если $b=9$ , то $\frac{9\cdot 9\cdot 8\cdot 8}{9+9+8+8}=\frac{5184}{34}\ne 96.$ Если $b=8$ , то $\frac{9\cdot 8\cdot 9\cdot 4}{9+8+9+4}=\frac{2592}{30}\ne 96.$

Следовательно, $b=8$ , $c=8$ . Тогда $9\cdot 8\cdot 8\cdot d = 96(9+8+8+d),$ $576d = 96(25+d),$ $6d = 25 + d,$ $d=5.$

Таким образом, наибольшее число $\overline{abcd}$ , при котором $k$ максимально, равно $\overline{abcd}=9885.$

Ответ:

[a)]а) Да
[б)] б) $3024$
[в)] в) $9885$