Задание 19: Разные задачи — ЕГЭ по математике

Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй — 99, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

[а)]а)Могло ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй — 99, а в третьей — 9?
[б)]б) Могло ли в третьей коробке оказаться 211 камней?
[в)]в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 31

Решение:

а) Покажем, как переместить ровно три камня из первой коробки в третью: $(112;\ 99;\ 0) \rightarrow (111;\ 98;\ 2) \rightarrow (110;\ 97;\ 4) \rightarrow (109;\ 99;\ 3)$ За 3 раза такими операциями мы можем переместить 9 камней из первой коробки в третью.

б) Рассмотрим разность чисел камней в третьей и первой коробках. Пусть в первой сейчас $a$ камней, в третьей $c$ камней. Тогда разность равна $c - a$ .

Если мы переложим два камня в первую коробку, то разность будет равна $(c - 1) - (a + 2) = c - a - 3$
Если мы переложим два камня во вторую коробку, то разность будет равна $(c - 1) - (a - 1) = c - a$
Если мы переложим два камня в третью коробку, то разность будет равна $(c + 2) - (a - 1) = c - a + 3$

Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 3, либо остаётся прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 3. Тогда если в третьей коробке после некоторых операций могли оказаться все $112 + 99 + 0 = 211$ камней, то в конце разность должна быть равна $211 - 0 = 211$ .

Изначально разность была равна $0 - 112 = -112$ , значит, она изменилась на $211 - (-112) = 323$ . Однако 323 не делится на 3, значит, в третьей коробке не могли оказаться 211 камней.

в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 3. Тогда посмотрим на изначальную разность между первой и второй коробками. Она равна $112 - 99 = 13$ . По условию во второй коробке оказалось 4 камня.

Найдём наименьшее количество $a \ge 0$ камней, которое могло оказаться в первой коробке. Так как разность изменяется на число, кратное 3, то имеем: $a - 4 = 13 + 3k,\quad k \in \mathbb{Z}$ $a = 17 + 3k \Rightarrow a \ge 2$

Тогда в третьей коробке может быть не более $211 - 4 - 2 = 205$ камней.

Покажем, как можно добиться 205 камней ровно. Сначала научимся перемещать по 3 камня в третью коробку из каждой другой: $(112; 99; 0) \rightarrow (111; 98; 2) \rightarrow (110; 97; 4) \rightarrow (109; 99; 3)$ $\rightarrow (108; 98; 6) \rightarrow (107; 97; 7) \rightarrow (106; 99; 6)$

Заметим, что для того, чтобы можно было проделать такие операции, в первых двух коробках должно быть хотя бы 5 и 3 камней соответственно. Тогда мы можем делать такие операции, пока не дойдём до ситуации $(16; 3; 192)$ .

Теперь будем перекладывать по 3 камня из первой коробки в третью: $(16; 3; 192) \rightarrow (13; 3; 195) \rightarrow (10; 3; 198) \rightarrow (7; 3; 201) \rightarrow (4; 3; 204)$ Окончательно имеем: $(4; 3; 204) \rightarrow (3; 2; 206) \rightarrow (2; 4; 205)$

Ответ:

[а)]а) Могло
[б)]б)Нет, не могло
[в)]в)205