Тип 19 № 15864

Пусть масса детали нового типа равна $m$ кг. Тогда масса детали старого типа равна $m+0{,}2$ кг. Пусть из 64 кг можно сделать $n$ деталей старого типа. По условию из 63 кг можно сделать на две детали нового типа больше, то есть $n+2$. Тогда из условия $k=mn+q$, где $q<m$ получаем: $$\begin{cases} 64=(m+0{,}2)n+q_1,\quad 0\le q_1<m+0{,}2,\\ 63=m(n+2)+q_2,\quad 0\le q_2<m \end{cases} \iff \begin{cases} \displaystyle \frac{64}{m+0{,}2}=n+\frac{q_1}{m+0{,}2},\\[6pt] \displaystyle \frac{63}{m}=n+2+\frac{q_2}{m} \end{cases}$$

Так как $0\le q_1<m+0{,}2$ и $0\le q_2<m$, то $$0\le \frac{q_1}{m+0{,}2}<1,\qquad 0\le \frac{q_2}{m}<1.$$

Значит, $$\begin{cases} n\le \dfrac{64}{m+0{,}2}<n+1,\\ n+2\le \dfrac{63}{m}<n+3 \end{cases} \iff \begin{cases} \dfrac{63}{m}-\dfrac{64}{m+0{,}2}<3,\\ \dfrac{63}{m}-\dfrac{64}{m+0{,}2}>1 \end{cases}$$

$$\iff \begin{cases} \dfrac{63(m+0{,}2)-64m-3m(m+0{,}2)}{m(m+0{,}2)}<0,\\[6pt] \dfrac{63(m+0{,}2)-64m-m(m+0{,}2)}{m(m+0{,}2)}>0 \end{cases}$$

$$\iff \begin{cases} \dfrac{-3m^2-1{,}6m+12{,}6}{m(m+0{,}2)}<0,\\[6pt] \dfrac{-m^2-1{,}2m+12{,}6}{m(m+0{,}2)}>0 \end{cases}$$

Так как $m+0{,}2>0$ и $m>0$, значит $m(m+0{,}2)>0$. Тогда необходимо решить систему $$\begin{cases} -3m^2-1{,}6m+12{,}6<0,\\ -m^2-1{,}2m+12{,}6>0 \end{cases}$$

$$\iff \begin{cases} 15m^2+8m-63>0,\\ 5m^2+6m-63<0 \end{cases} \iff \begin{cases} m\in(-\infty;-\tfrac73)\cup(1{,}8;+\infty),\\ m\in(-4{,}2;3) \end{cases}$$

$$\iff m\in(-4{,}2;-\tfrac73)\cup(1{,}8;3).$$

Но $m>0$, соответственно, $m\in(1{,}8;3)$.

а) Пусть такое возможно и масса новой детали $m_1$ кг. На изготовление 15 деталей 63 кг хватит, на изготовление 16 деталей — нет. Значит, $$\begin{cases} 63>15m_1,\\ 64<16m_1 \end{cases} \iff \begin{cases} m_1<\dfrac{63}{15}=4{,}2,\\ m_1>\dfrac{64}{16}=4 \end{cases}$$

Таким образом, $m_1\notin(1{,}8;3)$. Значит, такого не может быть.

б) Пусть такое возможно и масса новой детали $m_1$ кг. Аналогично пункту а: $$\begin{cases} 63>40m_1,\\ 64<41m_1 \end{cases} \iff \begin{cases} m_1<\dfrac{63}{40}=1{,}575,\\ m_1>\dfrac{63}{41}=1\tfrac{22}{41} \end{cases}$$

Таким образом, $m_1\notin(1{,}8;3)$. Значит, такого не может быть.

в) Пусть $x$ — число новых деталей массой $m_1$ кг, которое фабрика может выпустить из 80 кг материала. Тогда $$80=m_1x+q_1,\quad 0\le q_1<m_1 \iff m_1x\le 80<m_1(x+1) \iff \begin{cases} m_1\le \dfrac{80}{x},\\ m_1>\dfrac{80}{x+1} \end{cases}$$

$$\iff m_1\in\left(\dfrac{80}{x+1};\dfrac{80}{x}\right].$$

Так как фабрика не может выпустить $x-1$ деталей из 80 кг материала, то не существует такого $m_2$, что $$80=m_2(x-1)+q_2,\quad 0\le q_2<m \iff m_2(x-1)\le 80<m_2x \iff \begin{cases} m_2\le \dfrac{80}{x-1},\\ m_2>\dfrac{80}{x} \end{cases}$$

$$\iff m_2\in\left(\dfrac{80}{x};\dfrac{80}{x-1}\right].$$

По доказанному ранее $m_1\in(1{,}8;3)$. Значит, $$\frac{80}{x+1}<3 \iff x>\frac{80}{3}-1=25\tfrac23.$$

Таким образом, $x\ge 26$, так как $x$ — натуральное число. Заметим, что должно найтись такое $m_1$, что $$m_1\in\left(\frac{80}{27};\frac{80}{26}\right).$$

$n$ — количество деталей старого типа, которое можно сделать из 64 кг материала. Из 63 кг материала можно сделать $n+2$ детали нового типа. По доказанному ранее должно выполняться: $$\begin{cases} n\le \dfrac{64}{m_1+0{,}2}<n+1,\\ n+2\le \dfrac{63}{m_1}<n+3 \end{cases}$$

Значит, между числами $\dfrac{64}{m_1+0{,}2}$ и $\dfrac{63}{m_1}$ должно быть два натуральных числа: $n+1$ и $n+2$.

Оценим $\dfrac{64}{m_1+0{,}2}$: $$\frac{80}{27}+0{,}2\le m_1+0{,}2<\frac{80}{26}+0{,}2 \iff \frac{427}{135}\le m_1+0{,}2<\frac{426}{130}$$

$$\iff \frac{130}{426}<\frac{1}{m_1+0{,}2}\le\frac{135}{427} \iff 19\tfrac{113}{213}=\frac{130\cdot64}{426}<\frac{64}{m_1+0{,}2}\le\frac{135\cdot64}{427}=20\tfrac{100}{427}.$$

Оценим $\dfrac{63}{m_1}$: $$\frac{80}{27}\le m_1<\frac{80}{26} \iff \frac{26}{80}<\frac{1}{m_1}\le\frac{27}{80}$$

$$\iff 20{,}475=\frac{26\cdot63}{80}<\frac{63}{m_1}\le\frac{27\cdot63}{80}=21{,}2625.$$

Получаем $$19\tfrac{113}{213}<\frac{64}{m_1+0{,}2}<\frac{63}{m_1}\le21{,}2625.$$

Тогда между числами $\dfrac{64}{m_1+0{,}2}$ и $\dfrac{63}{m_1}$ нет двух натуральных чисел. Поэтому $x=26$ получить нельзя.

Приведём пример на $x=27$. Заметим, что не существует такого $m_2$, что $m_2\in\left(\dfrac{80}{27};\dfrac{80}{26}\right]$ по доказанному ранее. Осталось показать, что существует $m_1$ такое, что, во-первых, $m_1\in\left(\dfrac{80}{28};\dfrac{80}{27}\right)$, во-вторых, найдётся такое $n$, что из 64 кг можно будет сделать $n$ деталей старого типа и из 63 кг можно будет сделать $n+2$ детали нового типа: $$\begin{cases} 64=(m_1+0{,}2)n+q_1,\quad 0\le q_1<m_1+0{,}2,\\ 63=m_1(n+2)+q_2,\quad 0\le q_2<m_1 \end{cases}$$

Возьмём $m_1=2{,}86$, $n=20$. Тогда $$64=3{,}06\cdot20+2{,}8,$$ $$63=2{,}86\cdot22+0{,}08.$$

При этом $\dfrac{80}{28}<2{,}86<\dfrac{80}{27}$. Значит, наименьшее возможное $x$ равно 27.

Ответ:

• [а)]а) Нет
• [б)]б) Нет
• [в)]в) 27