Задание 19: Разные задачи — ЕГЭ по математике

Из $k$ кг материала фабрика изготавливает $n$ одинаковых деталей массой $m$ кг каждая, причём $k = nm + q,\qquad 0 \le q < m.$ После внедрения новых технологий начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на $0{,}1$ кг легче детали старого типа. Из $18$ кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем деталей старого типа из $21$ кг материала.

[a)]а) Может ли новая деталь весить столько, что для изготовления $50$ новых деталей достаточно $18$ кг материала, а для $51$ — уже нет?
[б)] б)Может ли новая деталь весить столько, что для изготовления $32$ новых деталей достаточно $18$ кг материала, а для $33$ — уже нет?
[в)]в) Найдите все такие числа $n$ , что фабрика может выпускать $n$ новых деталей из $10$ кг материала, не нарушая условия $q < m$ .

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 36

Решение:

Пусть масса новой детали равна $m$ кг, тогда масса старой детали равна $m+0{,}1$ кг. Пусть из $21$ кг материала изготавливается $n$ деталей старого типа. Тогда из $18$ кг материала изготавливается $n+2$ деталей нового типа.

По условию $\begin{cases} 21 = (m+0{,}1)n + q_1, & 0 \le q_1 < m+0{,}1, \\ 18 = m(n+2) + q_2, & 0 \le q_2 < m. \end{cases}$

Отсюда $\begin{cases} \dfrac{21}{m+0{,}1} = n + \dfrac{q_1}{m+0{,}1}, \\ \dfrac{18}{m} = n + 2 + \dfrac{q_2}{m}. \end{cases}$ Так как $0 \le \frac{q_1}{m+0{,}1} < 1, \qquad 0 \le \frac{q_2}{m} < 1,$ получаем систему неравенств $\begin{cases} n \le \dfrac{21}{m+0{,}1} < n+1, \\ n+2 \le \dfrac{18}{m} < n+3. \end{cases}$

Вычитая первое неравенство из второго, получаем $1 < \frac{18}{m} - \frac{21}{m+0{,}1} < 3.$

Приводя к общему знаменателю и учитывая $m>0$ , получаем эквивалентную систему $\begin{cases} -3m^2 - 3{,}3m + 1{,}8 < 0, \\ - m^2 - 3{,}1m + 1{,}8 > 0. \end{cases}$

Решая её, находим $m \in (0{,}4;\,0{,}5).$

а) Если на $50$ деталей хватает $18$ кг, а на $51$ — нет, то $50m < 18 < 51m,$ то есть $\frac{18}{51} < m < \frac{18}{50}.$ Но $\frac{18}{50} = 0{,}36 < 0{,}4,$ что противоречит найденному ранее условию $m\in(0{,}4;0{,}5)$ . Следовательно, такой случай невозможен.

б) Аналогично, если $32m < 18 < 33m,$ то $\frac{18}{33} < m < \frac{18}{32}.$ Но $\frac{18}{32} = 0{,}5625 > 0{,}5,$ а $\frac{18}{33} > 0{,}5,$ что также не пересекается с интервалом $(0{,}4;0{,}5)$ . Следовательно, и этот случай невозможен.

в) Пусть из $10$ кг материала можно изготовить $x$ новых деталей массы $m$ . Тогда $10 = xm + q,\qquad 0 \le q < m,$ то есть $xm \le 10 < (x+1)m.$ Отсюда $\frac{10}{x+1} < m \le \frac{10}{x}.$

С учётом условия $m \in (0{,}4;0{,}5)$ получаем $\begin{cases} \displaystyle \frac{10}{x} > 0{,}4 \;\Rightarrow\; x < 25,\\[6pt] \displaystyle \frac{10}{x+1} < 0{,}5 \;\Rightarrow\; x > 19. \end{cases}$

Так как $x$ — натуральное число, возможны значения $x = 20, 21, 22, 23, 24.$

Ответ:

[a)]а) Нет
[б)] б)Нет
[в)] в) $20,\,21,\,22,\,23,\,24$