Задание 14: Угол между прямой и плоскостью — ЕГЭ по математике

В правильной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$ боковое ребро равно $\sqrt{3}$ , а сторона основания равна $2$ . Через точку $A_1$ , перпендикулярно плоскости $AB_1D_1$ , проведена прямая $l$ .

[а)] а)Докажите, что прямая $l$ пересекает отрезок $AC$ и делит его в отношении $3:1$ .
[б)] б)Найдите угол между прямыми $l$ и $CB_1$ .

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Решение:

а)

Пусть $O_1$ — точка пересечения диагоналей основания $A_1B_1C_1D_1$ . Так как $B_1D_1 \perp A_1C_1$ и $B_1D_1 \perp AA_1$ , то $B_1D_1 \perp (AA_1O_1)$ . Проведем $A_1H \perp AO_1$ . Тогда $B_1D_1 \perp A_1H$ , следовательно, $A_1H \perp (AB_1D_1)$ . Пусть прямая $A_1H$ пересекает луч $AC$ в точке $K$ .

Угол $\varphi = \angle HA_1O_1 = \angle A_1AO_1 = \angle A_1KA$ , причём: $\frac{A_1O_1}{AA_1} = \tan\varphi = \frac{AA_1}{AK} \Rightarrow AK = \frac{AA_1^2}{A_1O_1} = \frac{AA_1^2}{\frac{AB}{\sqrt{2}}} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}$

Так как $AC = 2\sqrt{2}$ и $AK < AC$ , то точка $K$ лежит между точками $A$ и $C$ , то есть на отрезке $AC$ , причём: $KC = 2\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \Rightarrow AK : KC = 3 : 1 \quad \text{(что и требовалось доказать)}.$

б) Так как $CB_1 \parallel DA_1$ , то $\gamma = \angle (l, CB_1) = \angle (l, DA_1)$ .
По теореме косинусов из $\triangle ADK$ : $DK^2 = AD^2 + AK^2 - 2 \cdot AD \cdot AK \cdot \cos 45^\circ = \frac{5}{2}$

По теореме Пифагора: $DA_1^2 = 7,\qquad KA_1^2 = \frac{15}{2}$

Следовательно, по теореме косинусов из $\triangle DA_1K$ : $\cos\gamma = \frac{DA_1^2 + KA_1^2 - DK^2}{2 \cdot DA_1 \cdot KA_1} = 2\sqrt{\frac{6}{35}} \Rightarrow \gamma = \arccos\left(2\sqrt{\frac{6}{35}}\right)$

Ответ: б) $\arccos\left(2\sqrt{\frac{6}{35}}\right)$