Тип 14 № 15869

а)

Пусть $AB = a$, тогда $AS = a\sqrt{2}$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $BD = a\sqrt{2}$, следовательно, $\triangle BSD$ — правильный. Значит, в этом треугольнике высота $DM$ является также и медианой, то есть $M$ — середина $SB$.

б) $SH$ — высота пирамиды, $H$ — точка пересечения диагоналей основания. Следовательно, $SH \perp AC$. Так как $AC \perp BD$, то $AC \perp (BSD)$. Проведем $HK \perp DM$. Тогда $AC \perp HK$, следовательно, по определению $HK$ — расстояние между $AC$ и $DM$.

Так как $H$ — середина $BD$, $HK \parallel BM$, то по теореме Фалеса $K$ — середина $DM$. Следовательно, $HK$ — средняя линия $\triangle BDM$ и $$HK = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{4}BS = \frac{1}{4}BD.$$

Высота правильного треугольника со стороной $x$ равна $\frac{x\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $$6\sqrt{3} = DM = \frac{a\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} \;\;\Leftrightarrow\;\; a\sqrt{2} = 12 \;\;\Rightarrow\;\; HK = \frac{1}{4}\cdot 12 = 3.$$

Ответ:

б) $3$