Тип 14 № 15871

а)

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида с основанием $ABC$. По свойству правильной пирамиды центр $O$ вписанного в неё шара лежит на её высоте $SH$. Пусть $CC_1$ — высота основания, $M$ — середина высоты $SH$.

Плоскость пересекает шар в более чем одной точке, если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара. Так как $\alpha \perp SH$, то $OM \perp \alpha$, следовательно, требуется доказать, что $OM < r$. Это равносильно тому, что $$OM < OH \;\;\Leftrightarrow\;\; OH > \frac{1}{2}MH \;\;\Leftrightarrow\;\; OH > \frac{1}{4}SH.$$

Высота правильного треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $$CC_1 = 3\sqrt{3} \;\Rightarrow\; CH = 2\sqrt{3}.$$ Тогда по теореме Пифагора $$SH = \sqrt{13 - 12} = 1.$$ Так как $HC_1 = \sqrt{3}$, то по теореме Пифагора $$SC_1 = \sqrt{3 + 1} = 2.$$

Рассмотрим $\triangle SHC_1$. $OK = OH = r$ — радиусы шара. Так как $\triangle SKO \sim \triangle SHC_1$, то $$\frac{1 - r}{2} = \frac{r}{\sqrt{3}} \;\;\Leftrightarrow\;\; r = 2\sqrt{3} - 3.$$

Так как $$2\sqrt{3} - 3 > 2 \cdot \frac{3}{2} - 3 > \frac{1}{4},$$ то $r > \frac{1}{4}SH$. Ч.т.д.

б)

Сечение шара плоскостью $\alpha$ — окружность с центром в точке $M$ радиуса $MN$. $$OM = \frac{1}{2}SH - r = \frac{1}{2} - r.$$ Рассмотрим прямоугольный $\triangle OMN$: $$MN^2 = r^2 - \left(\frac{1}{2} - r\right)^2 \;\;\Rightarrow\;\; MN^2 = \frac{1}{4}\left(8\sqrt{3} - 13\right).$$

Следовательно, площадь сечения равна $$S = \pi \cdot MN^2 = \frac{\pi}{4}\left(8\sqrt{3} - 13\right).$$

Ответ:

б) $\displaystyle \frac{\pi}{4}\left(8\sqrt{3} - 13\right)$