Задание 14: Площади сечения — ЕГЭ по математике

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ . Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$ . Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$ .

[а)] а)Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
[б)] б)Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ , если $AD = 9$ , $BC = 7$ , $SO = 6$ , а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$ .

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Решение:

а)

Пусть $MN$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Так как $SO \parallel \alpha$ , то $\alpha$ пересечет плоскости, в которых находится $SO$ , по прямым, параллельным $SO$ . Следовательно, проведем в плоскостях $ASC$ и $BSD$ прямые $PE \parallel SO$ , $KF \parallel SO$ (см. рис.). Получим сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ — четырёхугольник $MNKP$ .

Так как $MN \parallel AD$ , то $AD \parallel \alpha$ , следовательно, $\alpha$ пересечет плоскость $ASD$ , в которой лежит $AD$ , по прямой, параллельной $AD$ . Следовательно, $PK \parallel AD \Rightarrow PK \parallel MN.$ Осталось доказать, что $PK \ne MN$ .

По теореме Фалеса $E$ и $F$ — середины диагоналей. Следовательно, $AE : AO > AE : AC = 1 : 2$ .

$\triangle APE \sim \triangle ASO \quad (\angle SAO\ \text{— общий},\ \angle APE = \angle ASO\ \text{как соответственные при } EP \parallel SP \text{ и секущей } AS).$ Следовательно, $\frac{AP}{AS} = \frac{AE}{AO} > \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{PS}{AS} = \frac{AS - AP}{AS} = 1 - \frac{AP}{AS} < \frac{1}{2}$

$\triangle PSK \sim \triangle ASD\ (\angle ASD\ \text{— общий},\ \angle SPK = \angle SAD\ \text{как соответственные при } PK \parallel AD\ \text{и секущей } AS).$

Следовательно, $\frac{PK}{AD} = \frac{PS}{AS} < \frac{1}{2} \Rightarrow PK < \frac{1}{2}AD$

Так как $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$ , то $MN = \frac{AD + BC}{2} > \frac{1}{2}AD$

Следовательно, $MN > PK$ , то есть $MN \ne PK$ , значит, $MNKP$ — трапеция. Ч.т.д.

б) По свойству трапеции $\triangle AOD \sim \triangle BOC \Rightarrow AO : OC = 9 : 7 \Rightarrow AO = 9x$ , $OC = 7x$ . Тогда $AC = 16x$ . Так как $AE = \frac{1}{2}AC$ , то $AE = 8x \Rightarrow EO = x$ .

Из $\triangle APE \sim \triangle ASO$ , описанного в пункте а), следует, что $\frac{PE}{SO} = \frac{AE}{AO} = \frac{8}{9} \Rightarrow PE = \frac{8}{9}SO = \frac{16}{3}$

Из $\triangle PSK \sim \triangle ASD$ , описанного в пункте а), следует, что $\frac{PK}{AD} = \frac{PS}{AS} = \frac{EO}{AO} = \frac{1}{9} \Rightarrow PK = \frac{1}{9}AD = 1$

Также средняя линия равна $MN = \frac{AD + BC}{2} = 8$

Так как $SO \perp AD$ , $PE \parallel SO$ , $MN \parallel AD \Rightarrow PE \perp MN \Rightarrow PE$ — высота трапеции $MNKP$ . Следовательно, её площадь равна

$S = \frac{MN + PK}{2} \cdot PE = \frac{8 + 1}{2} \cdot \frac{16}{3} = 24.$

Ответ:

б) 24