Тип 14 № 15879

а) Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник $ABC$, а основание высоты этой пирамиды — центр $H$ треугольника.

Пусть $AA_1 \perp BC$, $CC_1 \perp AB$. Тогда $H = AA_1 \cap CC_1$ и по теореме о трёх перпендикулярах $PA_1 \perp BC$. Следовательно, $PA_1$ — апофема грани $BCP$.

Проведём $AO \perp PA_1$, а через точку $O$ проведём $MN \parallel BC$. Тогда $(AMN) = \alpha$. Докажем, что $PO : OA_1 = 119 : 25$.

Пусть $\angle AA_1P = \varphi$. Тогда:

$$\frac{OA_1}{AA_1} = \cos \varphi = \frac{HA_1}{PA_1}$$

Пусть $AB = a$. Тогда:

$$AA_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \quad HA_1 = \frac{1}{3}AA_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}}, \quad PA_1 = \sqrt{1{,}69a^2 - 0{,}25a^2} = 1{,}2a$$

$$OA_1 = \frac{HA_1 \cdot AA_1}{PA_1} = \frac{5a}{24}$$

Тогда:

$$\frac{OA_1}{PA_1} = \frac{25}{144} \iff \frac{PO}{OA_1} = \frac{119}{25}$$

Что и требовалось доказать.

б) Проведём $CK \parallel PA_1$, как показано на рисунке. Тогда $CK \perp \alpha$, следовательно, $AK$ — проекция наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$.

Так как угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость, то нужно найти $\angle CAK = \mu$. $\triangle CAK$ — прямоугольный с прямым углом $K$. Следовательно,

$$\sin \mu = \frac{CK}{AC}$$

Так как $BC \parallel MN$, то $BC \parallel \alpha$, следовательно, расстояние от любой точки прямой $BC$ до плоскости $\alpha$ одинаково, откуда следует, что $CK = OA_1 = \frac{5a}{24}$.

Значит,

$$\sin \mu = \frac{5}{24} \quad \Rightarrow \quad \mu = \arcsin \frac{5}{24}$$

Ответ: а) $119 : 25$ б) $\arcsin \dfrac{5}{24}$