Задание 17: Теорема Менелая — ЕГЭ по математике

Точки $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах соответственно $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ , причём $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AC_1}{C_1B}$ . Прямые $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$ .

а) Докажите, что прямая $AO$ делит пополам сторону $BC$ .

б) Найдите отношение площади четырёхугольника $AB_1OC_1$ к площади треугольника $ABC$ , если известно, что $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{1}{4}$ .

Решение:

а)

Рассмотрим треугольник $ABD$ и секущую $CC_1$ .

Запишем для них теорему Менелая: $\frac{BC}{DC} \cdot \frac{DO}{OA} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1$ Рассмотрим треугольник $ADC$ и секущую $BB_1$ .

Запишем для них теорему Менелая: $\frac{CB}{BD}\cdot\frac{DO}{OA}\cdot\frac{AB_1}{B_1C} = 1$

Тогда: $\frac{BC}{DC} \cdot \frac{DO}{OA} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{CB}{BD}\cdot\frac{DO}{OA}\cdot\frac{AB_1}{B_1C} \Leftrightarrow \frac{BC}{DC} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{CB}{BD}\cdot\frac{AB_1}{B_1C} \Leftrightarrow \frac{BC}{DC} = \frac{CB}{BD}$ $\frac{BC}{DC} = \frac{BC}{BD} \Leftrightarrow \frac{1}{DC} = \frac{1}{BD} \Leftrightarrow DC = BD$ Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим треугольник $CC_1B$ и секущую $AD$ .

Запишем теорему Менелая:

$\frac{AB}{AC_1}\cdot\frac{C_1O}{OC}\cdot\frac{CD}{DB} = 1 \Leftrightarrow \frac{AB}{AC_1}\cdot\frac{C_1O}{OC} = 1 \Leftrightarrow \frac{AC_1 + BC_1}{AC_1}\cdot\frac{C_1O}{OC} = 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \left(1 + \frac{BC_1}{AC_1}\right)\cdot\frac{C_1O}{OC} = 1 \Leftrightarrow 5\cdot\frac{C_1O}{OC} = 1 \Leftrightarrow \frac{C_1O}{OC} = \frac{1}{5}$ Рассмотрим треугольник $BB_1C$ и секущую $AD$ .

Запишем теорему Менелая:

$\frac{CA}{AB_1}\cdot\frac{B_1O}{OB}\cdot\frac{BD}{DC} = 1 \Leftrightarrow \frac{B_1O}{OB} = \frac{1}{5}$ Рассмотрим треугольники $AB_1B$ и $B_1BC$ . Они имеют общую высоту $h$ .

Тогда: $\frac{S_{AB_1B}}{S_{BCB_1}} = \frac{\tfrac{1}{2}\cdot h\cdot AB_1}{\tfrac{1}{2}\cdot h \cdot B_1C} = \frac{1}{4}$ Отсюда: $\frac{S_{AB_1B}}{S_{ABC}} = \frac{1}{5}$ Аналогичным образом можем показать: $\frac{S_{AC_1C}}{S_{ABC}} = \frac{1}{5}$ Рассмотрим треугольники $AOC$ и $AOC_1$ .

Они также имеют общую высоту $h'$ .

Тогда: $\frac{S_{AC_1O}}{S_{AOC}} = \frac{\tfrac{1}{2}\cdot h'\cdot OC_1}{\tfrac{1}{2}\cdot h' \cdot OC} = \frac{1}{5}$ Значит: $\frac{S_{AC_1O}}{S_{ACC_1}} = \frac{1}{6}$ Отсюда: $\frac{S_{AC_1O}}{S_{ABC}} = \frac{1}{30}$ Аналогично для треугольника $AOB_1$ и $AOB$ : $\frac{S_{AC_1O}}{S_{ABC}} = \frac{1}{30}$ Найдём отношение площади четырёхугольника $AB_1OC_1$ к площади треугольника $ABC$ : $\frac{S_{AB_1OC_1}}{S_{ABC}} = \frac{S_{AC_1O} + S_{AB_1O}}{S_{ABC}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{15}$

Ответ: $\frac{1}{15}$