Задание 17: Трапеции — ЕГЭ по математике

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ . Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O$ . Точки $M$ и $N$ отмечены на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. Известно, что $AM = MO$ , $CN = NO$ .

а) Докажите, что точки $M$ , $N$ и $O$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $AM :MB$ , если известно, что $AO = OC$ и $BC :AD = 1:7$ .

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна.

Решение:

а)

Так как по условию задачи $AM = MO$ , треугольник $AMO$ – равнобедренный.

Значит, $\angle MAO = \angle MOA = \angle OAD$ .

Рассмотрим прямые $MO$ и $AD$ .

Углы $\angle MOA$ и $OAD$ – накрест лежащие и равные, следовательно прямые $MO$ и $AD$ параллельны.

Рассмотрим треугольник $NCO$ . Так как по условию $NO = NC$ , он равнобедренный.

Тогда $\angle NOC = \angle NCO = \angle OCB$ .

Рассмотрим прямые $BC$ и $ON$ .

Углы $\angle NOC$ и $BCO$ – накрест лежащие и равные, следовательно прямые $BC$ и $ON$ параллельны.

В совокупности получаем: $MO || AD, \quad NO || BC,\quad BC||AD \Rightarrow MO||ON$ Значит, точки $M, O, N$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

б)

Проведём высоты трапеции через точки $O$ и $C$ .

Пусть угол $MOA = \alpha$ . Тогда $\angle AOH = 90^\circ - \alpha$ .

Пусть $BC = x$ , тогда $AC = 7x$ , $AI = 4x$ , $ID = 3x$ (св-ва равнобедренной трапеции).

Рассмотрим треугольники $AOH$ и $COG$ .

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная: $\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ \Leftrightarrow 2\angle OAH + 2\angle GCO = 180^\circ \Leftrightarrow \angle OAH + \angle GCO = 90^\circ \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \alpha + \angle GCO = 90^\circ \Leftrightarrow \angle GCO = 90^\circ - \alpha \Rightarrow \angle GOC = \alpha$ Так как по условию $AO = OC \Rightarrow$ треугольники $AOH$ и $COG$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Отсюда: $GC = OH, \quad AH = OG$

Рассмотрим параллельные прямые $MO$ и $AH$ и секущие $AB$ и $GH$ .

По теореме Фалеса: $\frac{AM}{MB} = \frac{OH}{OG} = \frac{OH}{AH} = \tg \alpha$ Тогда $\tg 2\alpha = \tg \angle BAD = \tg \angle CDA = \frac{CI}{ID} = \frac{CI}{3x}$ Найдём высоту трапеции $CI$ . Так как $GCIH$ – прямоугольник: $CI = GH = GO + OH = GC + AH = AH + HI = AI =4x$ Тогда: $\tg 2\alpha = \tg \angle CDA = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}$ Выразим тангенс через формулу тангенса двойного угла: $\tg 2\alpha = \frac{2\tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 4\tg^2 \alpha + 6\tg \alpha - 4 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2\tg^2 \alpha + 3\tg \alpha - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\tg \alpha = \frac{1}{2}\\ &\tg \alpha = -2 \end{aligned}\right.$

Угол $\alpha \in (0; 90)$ – острый.

Значит: $\tg \alpha = \frac{AM}{MB} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$